基于m序列變換和混沌映射的圖像加密算法是利用m序列發(fā)生器中移位寄存器狀態(tài)的遍歷性進行位置置換；同時，也利用了m序列的偽隨機特性能很好地實現(xiàn)圖像位置置亂。圖像替代是改變圖像每個像素點的值，使替代后的圖像直方圖近似于由隨機序列組成的圖像的直方圖。這種方法可以有效地紊亂圖像，使經(jīng)替代處理后圖像的相關(guān)性進一步降低，從而更好地保護圖像數(shù)據(jù)。

一、Logistic混沌映射

Logistic混沌映射是一個源于人口統(tǒng)計的動力學(xué)系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

其中Xk為映射變量，μ為系統(tǒng)參量，它們的取值范圍分別為：-1<Xk<1，0<μ≤2。Logistic映射是一個非常簡單，卻又具有重要意義的非線性迭代方程，當(dāng)1.401155≤μ≤2時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)對初始值xo和參數(shù)μ具有敏感依賴性，可用來提供數(shù)量眾多，非相關(guān)，類隨機而又確定的可再生信號，便于圖像文件加密和解密使用。

二、m序列變換

1、m序列原理

偽隨機序列可以通過一個佗級線性反饋移位寄存器得到，如圖1所示。

其中an-1，an-2，a1，ao為寄存器的狀態(tài)，反饋線的連接狀態(tài)用ci表示，ci=1表示反饋線接通（參與反饋），ci=o表示反饋線斷開，但是cn=c0=1。寄存器的每一級輸出經(jīng)反饋相加后作為最高位的輸入an。n級線性反饋移位寄存器可能產(chǎn)生的最長周期為2n-1，稱這種最長的序列為m序列。線性反饋移位寄存器能產(chǎn)生m序列的充要條件是反饋移位寄存器的特征多項式為本原多項式。

2、m序列變換

根據(jù)m序列的理論，本文設(shè)計了一種基于m序列的圖像位置置亂方法，即稱之為m序列變換，其變換原理如下：

設(shè)數(shù)字圖像為f（x，y），x=0，1，…，m-1，y=0，1，…，n-1，若m和n滿足2kx-1<m< 2kx和2ky-1<n< 2ky，取一個k=kx+ky級線性反饋移存器的本原多項式，f（x）作為其特征方程，且移位寄存器的初始狀態(tài)為非零狀態(tài)。則數(shù)字圖像，f（x，y）的水平坐標(biāo)xr和垂直坐標(biāo)yr可分別用前kx個和后ky個移位寄存器的狀態(tài)來表示，其對應(yīng)關(guān)系如式（2）：

其中r表示m序列由第0時刻開始的移位次數(shù)，T∈{o，1，2，…，2k -2}。而akx +ky—i，r和aky一j，r表示前kx個和后ky個移位寄存器在r時刻的狀態(tài)。根據(jù)m序列原理可知Xr∈{o，
1，…，2kx-1）和yr={o，1，…，2ky-1），但xr和yr不能同時為零。在圖像位置置亂中，xr和yr可作為原圖像經(jīng)過m序列變換后的水平和垂直坐標(biāo)。顯然，m序列在移位時得到的xr，
和yr有些超出了圖像的尺寸界限，在m序列變換中對這些點要作舍棄處理。

設(shè)f'（x'，y'）表示f（x，y）經(jīng)m序列變換后圖像，其中x'=0，1，2，...M -1; y'=0，1，2，…N-1，則m序列變換算法描述如下：

（1）設(shè)f（x，y）的第1個像素點（o，o）映射到，f'（x'，y'）的除（o，o）外的任意一點（x0'，y0'），x0'和y0'分別對應(yīng)前kx個和后ky個移位寄存器的狀態(tài)，其對應(yīng)關(guān)系參照式（2）。

（2）m序列移位一次，并由移位寄存器狀態(tài)用式（2）計算x1和y1，檢查x1和y1是否滿足式（3）：

若不滿足，m序列繼續(xù)移位，并由移位寄存器狀態(tài)用式（2）計算x2和y2，檢查x2和y2是否滿足式（3），直到尋找到滿足式（3）的xr和yr為止，并把此時的xr和yr記為x1'和y1'，將f（x，y）的第2個像素點（0，1）映射到f''（x'，y'）的點（X1'，y1'）。

（3）m序列繼續(xù)移位，按照步驟（2）方法對f（x，y）其它像素點映射到f'（x'，y'）中，m序列經(jīng)過一個周期后，正好將f（x，y）除（M-1，N-1）點外的其它所有像素點都映射到f'（x'，y'）的對應(yīng)點，最后將，f（x，y）的（M-1，N-1）點映射到f'（x'，y'）的（0，0）點。

上述過程實現(xiàn)了圖像的m序列變換。當(dāng)f（x）為本原多項式時，k=kx+ky級線性反饋移位寄存器的周期為2kx+ky一1，舍棄不同時滿足0≤xr≤M -1和0≤yr≤N-1的映射點，再把移位寄存器的全零狀態(tài)補上，上述m序列變換顯然是一一映射，用它可實現(xiàn)圖像的位置置亂。其圖像置亂的結(jié)果取決于任意選定的x0'和y0'，因此x0'和y0'可作為圖像加解密的密鑰。其中x0'和y0'的密鑰空間分別是x0'∈{o，1，…，M-1）和y0'={o，1，…，N-1），但是x0'和y0'不能同時為零。所以，x0'和y0'總的密鑰空間大小為M×N-1。

m序列變換對圖像位置置亂非常有效，它具有映射的隨機性，且取決于x0'和y0'。采用m序列變換對尺寸大小為207×250灰度圖像進行位置置亂加密處理的實驗結(jié)果如圖2所示，在本文實驗中取x0'=1o和y0'=21。

很遺憾，在僅用m序列變換進行圖像位置置亂的圖像加密中，如果公布圖像位置置亂的加密算法，此時x0'和y0'失去密鑰作用。圖3是x0'和y0'取不同值得到的解密圖，盡管與原圖像不盡相同，但經(jīng)過簡單的裁剪和拼接，就可恢復(fù)出原圖像。因此，這類算法是不能公開的，其秘密不是完全寓于密鑰，這不符合現(xiàn)代密碼體制的規(guī)范。這是m序列變換的一個缺點。

為了使得m序列變換適用于現(xiàn)代密碼體制，本文設(shè)計了一種基于m序列變換與Logistic混沌映射相結(jié)合的圖像加密算法，該算法能很好地避免上述問題，其加解密算法步驟如下。

三、基于m序列變換與混沌映射相結(jié)合的圖像加解密算法

加密算法描述如下：

步驟1輸入待加密圖像，用矩陣表示為fo（i，j），i=0，1，…，M -1；j=0，1，…，N-I。設(shè)定圖像加密的迭代次數(shù)r。

步驟2輸入Logistic混沌映射的初始值x0，1，yo，2和參數(shù)μ1、μ2，采用式（1）迭代M×N+k次生成不同矩陣g1（i，j）和g2（i，j），其中o<i< M-1，o≤j≤N-1（說明：其原因是保證Logistic映射的初值敏感性和參數(shù)敏感性，矩陣g1（i，j）和g2（i，j）應(yīng)該舍棄Logistic映射開始迭代七次的數(shù)據(jù)）。由于處理的信號是數(shù)字圖像，一般要求矩陣g1（i，j）和g2（i，j）的元素值為正整數(shù)（如g1，g2∈[o，255]），可采用式（4）進行取整操作：

其中u表示系統(tǒng)迭代次數(shù)，這兩個矩陣用于圖像灰度值替代操作的隨機參數(shù)。輸入的初始值x01，xo2和參數(shù)μ1，μ2即為圖像加密的密鑰之一。

步驟3 圖像灰度值替代：對圖像fo（i，j）逐點按照式（5）進行圖像灰度值的替代得到f1（i，j）：

其中L為圖像的灰度級。

步驟4圖像置換，隨機選擇參數(shù)x0'和y0'，采用上述的m序列變換對圖像f1（i，j）進行位置置換處理，得到f2（i，j）。

步驟5重復(fù)步驟3和步驟4，直至迭代達到r次為止。

圖像解密是圖像加密的逆過程。

四、實驗結(jié)果及其分析

在Matlab 6.0編程環(huán)境下采用本文算法對大小為128x 256的灰度圖像進行加解密處理，其中xo1=0.4509， x02=0.87807，μ1=1.989，μ2=2，x0'=1o，y0'=21和r=1，其實結(jié)果如圖4所示。

1、統(tǒng)計分析

（1）直方圖

由圖5所示實驗結(jié)果，很清楚表明，與原始圖像直方圖比較，加密圖像直方圖有很大的不同，它非常均勻。因此，經(jīng)本文算法加密后圖像在傳輸中具有更好的隱蔽性。

（2）相關(guān)性

原始圖像中相鄰像素的相關(guān)性是很大的，為了破壞統(tǒng)計攻擊，必須降低相鄰像素的相關(guān)性。本文采用式（6）-式（7）計算原始圖像和加密圖像的M×N/2對像素點測試其在水平和垂直方向的相關(guān)系數(shù)，其測試值如表1所示。

其中x和y表示兩個相鄰的像素灰度值，且在實際數(shù)值計算時則采用如式（8）—式（10）的E（x），D（x）和cov（x，y）的離散形式：

為了描述方便，用rf0，rfm和rfen分別表示原始圖像，m序列變換置亂后圖像和本文算法加密后圖像的相關(guān)系數(shù)。其相關(guān)系數(shù)如表1所示。

2、Logistic映射的敏感性測試

在圖6實驗中，在只改變混沌系統(tǒng)的一個初始值或一個參數(shù)而其它參數(shù)都相同情況下，均不能正確解密，說明Logistic映射對初始值和系統(tǒng)參數(shù)具有敏感依賴性。因此，在未知準(zhǔn)確密鑰時，即使初始值x01，xo2和參數(shù)μ1，μ2己知，是難以將加密圖像正確解密的。

3、x0'和y0'對圖像解密的敏感性測試

在圖7實驗中，若只改變端和璣中一個值情況下，則圖像不能正確解密。它說明xL和y可以作為一個圖像加密的密鑰。與僅用m序列變換時使圖像位置置亂加密算法x0'和y0'密鑰失效相比，其不同在于解密圖像盡管幾個分塊的圖像相對位置不變，但我們可以從中理解信息的含義，只是圖像的絕對位置改變了。由于我們在像素值替代時，引入了由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的位置參數(shù)，使x0'和y0'參數(shù)也具有參數(shù)敏感性。

4、算法安全性能分析

從上述實驗結(jié)果及其分析可知，必須正確輸入密鑰，即初始值x01，xo2，參數(shù)μ1、μ2，x0'，y0'和迭代次數(shù)'全部正確才能對加密圖像正確解密。因此本算法對圖像加密的密鑰空間在Matlab 6.0試驗平臺上可達到1070，其中參數(shù)x01，xo2，μ1、μ2的空間數(shù)量級均為1015，迭代次數(shù)r空間數(shù)量級為105。x0'和y0'的密鑰空間與圖像尺寸大小有關(guān)，其總的密鑰空間大小為M×N-1，詳見m序列變換算法說明。對尺寸大小為128×256的圖像而言，其空間數(shù)量級為105。非授權(quán)者若用窮舉法進行破密是很難在有限的時間內(nèi)破密成功。

根據(jù)Kerckhoffs準(zhǔn)則，加密算法要與密鑰完全分開是現(xiàn)代密碼體制的要求。上述實驗結(jié)果表明本文提出的算法可以公開，完全符合現(xiàn)代密碼體制的要求。

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