目前，基于低維混沌系統(tǒng)的應(yīng)用于圖像文件加密已十分普遍，但低維混沌系統(tǒng)在有限精度下存在短周期的缺點(diǎn)成為在實(shí)際應(yīng)用中最大的障礙，但是低維混沌系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快等特點(diǎn)使得它們?nèi)圆荒鼙粧仐?。為此，研究具有高自由度和高?fù)雜度的時(shí)空混沌系統(tǒng)并應(yīng)用于圖像加密迫在眉睫。我們提出了雙向耦合映像格子模型的圖像加密算法。

一、雙向耦合映像格子模型

時(shí)空耦合映像格子是一個(gè)時(shí)間空間離散化，但狀態(tài)變量仍保持連續(xù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。耦合映像格子有著相對(duì)簡(jiǎn)單、容易計(jì)算等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于時(shí)空混沌控制、同步、保密通信等研究之中。

描述時(shí)空混沌系統(tǒng)的主要數(shù)學(xué)工具有耦合常微分方程、偏微分方程、耦合映像格子模型等方程，其中耦合映像格子模型（CoupledMapLattice，CML）是研究人員經(jīng)常使用的研究工具。本文加密算法中用到的是雙向耦合映像格子模型（TwowayCoupledMapLattice，TCML）。

TCML模型的定義：

式中，其中f(_)為非線性映射，ε為耦合系數(shù)，周期性邊界條件滿足xn(0)=xn(L)，xn(i)∈(0，1)。n=0，1，......為時(shí)間方向上的變量，i=0，1，......，L-1為空間方向上的變量，L為系統(tǒng)尺寸，函數(shù)f(x)取為L(zhǎng)ogistic混沌映射：

其中3.5699456...≤μ≤4，0<xn<1。

二、TCML混沌序列的產(chǎn)生及改進(jìn)

良好的混沌圖像加密系統(tǒng)必須具有優(yōu)良相關(guān)特性的序列。用TCML模型生成三路混沌序列{b(0)，b(1)，b(2)}的過(guò)程如下：

（1）參數(shù)選擇：對(duì)式（1）中的雙向耦合映像格子模型，以Chebyshev映射產(chǎn)生的0到1之間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)為初始值。系統(tǒng)尺寸L=30，迭代過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)度len=2000；系統(tǒng)迭代次數(shù)N=5000；Logistic映射參數(shù)μ=4，耦合系數(shù)ζ=0.234。

（2）系統(tǒng)格子初值產(chǎn)生：對(duì)式（3）Chebyshev映射取初值x0迭代2000次，得到x2000，繼續(xù)迭代，判斷此時(shí)xn值是否落入?yún)^(qū)間(0，1)。若是，將xn作為格子0的初值；否則，繼續(xù)迭代，直到xn落入?yún)^(qū)間(0，1)。重復(fù)上述步驟，直到30個(gè)格子都取得驅(qū)動(dòng)初值。

（3）TCML序列產(chǎn)生：將步驟（2）中得到的系統(tǒng)格子初值，代入滿足步驟（1）中參數(shù)的TCML系統(tǒng)迭代N次，去掉len長(zhǎng)度的過(guò)渡過(guò)程，格子9、18、27的后N-len點(diǎn)分別作為三路混沌序列{b[0]，b[1]，b[2]}。

對(duì){b[0]，b[1]，b[2]}求序列各自的序列密度分布（量化到[0，255]）、自相關(guān)特性和互相關(guān)特性來(lái)檢測(cè)序列的密碼學(xué)特性如圖1所示。

可以看到各路序列密度分布較差，如果直接用這樣的序列對(duì)圖像進(jìn)行加密，密文很容易被攻擊者破譯。為了達(dá)到均勻分布的目的，采用一種改進(jìn)的混沌序列生成方法對(duì)直接得到的混沌值進(jìn)行預(yù)處理。整個(gè)預(yù)處理過(guò)程可由下式實(shí)現(xiàn)。

其具體思路是，將某格點(diǎn)上的狀態(tài)量與其某相鄰格點(diǎn)的狀態(tài)量相減，得到的值作為新格點(diǎn)的狀態(tài)值，改進(jìn)后的各個(gè)序列密度分布、自相關(guān)特性和互相關(guān)特性如圖1所示。

（4）對(duì)混沌序列{b[0]，b[1]，b[2]}進(jìn)行改進(jìn)，完成混沌序列生成。

三、圖像加密系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、加密系統(tǒng)密鑰設(shè)計(jì)

加密系統(tǒng)的密鑰分為用戶密鑰和圖像密鑰兩部分，其中用戶密鑰是由用戶提供的，由3個(gè)字節(jié)組成，記為key1、key2、key3；圖像密鑰是根據(jù)具體明文圖像內(nèi)容提取出來(lái)的密鑰：任
意選取4個(gè)不同的圖像密鑰。這里為了方便，從原始圖像f中任取6個(gè)像素點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)像素點(diǎn)一對(duì)，按比特位進(jìn)行異或操作，得到3個(gè)8位的輔助密鑰ka，kb，kc。為了提高系統(tǒng)的明文擴(kuò)散能力和明文敏感性，混沌參數(shù)選取規(guī)則如下：

（1）系統(tǒng)尺寸L=30；

（2）Chebyshev映射參數(shù)：

以x0為初值將Chebyshev映射迭代m次，按上章的有關(guān)步驟生成初始序列{init(i)(i=0，1，.....，29)}；

（3）TCML系統(tǒng)參數(shù)

2、加密過(guò)程

（1）將TCML系統(tǒng)在初始序列{init(i)(i=0，1，.......，29)}作用下迭代len次，得到新序列{s_new(i)(i=0，1，.......，29)}，對(duì)其中的s_new(9)，s_new(18)，s_new(27)進(jìn)行改進(jìn)處理，得到對(duì)應(yīng)的值s9、s18、s27；

（2）將s9、s18、s27分別量化到[0，255]區(qū)間，量化公式如下：

式中q1、q2、q3分別為量化后的值，[_]表示8bit截?cái)嗖僮鳌?/p>

（3）對(duì)圖像中的第1個(gè)像素f(0，0)，對(duì)q1、q2、q3和像素做如下操作：

用式（10）對(duì)f(0，0)進(jìn)行擾亂得到新的像素值f′(0，0)，過(guò)程如下：

（4）對(duì)其余的像素重復(fù)以上步驟，直到整幅圖像完成像素值擾亂，得到圖像f′(x，y)；

（5）分別對(duì)f′(x，y)像素坐標(biāo)按式（11）進(jìn)行二維Arnold置亂。

定義：設(shè)有單位正方形上的點(diǎn)(x，y)，將點(diǎn)(x，y)變到另一點(diǎn)(x′，y′)的變換為：

此變換稱作二維Arnold變換。

考慮到數(shù)字圖像的要求，Arnold變換可改寫(xiě)為：

其中N是數(shù)字圖像的階數(shù)，(x，y)為圖像上像素點(diǎn)的坐標(biāo)。將二維Arnold變換應(yīng)用在圖像f(x，y)上，可以通過(guò)像素坐標(biāo)的改變而改變?cè)紙D像灰度值的布局。

（6）整個(gè)加密過(guò)程結(jié)束，解密是加密的逆過(guò)程。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果及安全性分析

1、加密和解密實(shí)驗(yàn)結(jié)果

用一幅256×256大小圖像在PC機(jī)上進(jìn)行加密和解密實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)參數(shù)選擇：系統(tǒng)尺寸L=30；用戶密鑰key1=0x34，key2=0xfe，key3=0xc4；Logistic映射參數(shù)μ=4；TCML系統(tǒng)耦合系數(shù)ζ=0.234；Arnold置亂輪數(shù)m=20。實(shí)驗(yàn)效果見(jiàn)圖2。

2、安全性分析

（1）密鑰空間分析

一個(gè)好的加密方案應(yīng)該使其密鑰空間足夠大從而使得強(qiáng)行攻擊不可行。在加密算法中，可擴(kuò)展的外部密鑰提供了所需安全等級(jí)的任意長(zhǎng)度密鑰，因此本方案密鑰空間是足夠大的。

（2）密鑰敏感性分析

密鑰敏感性，即密鑰的微小差別可以對(duì)密文造成很大的變化，從密文中也就很難得出有關(guān)密鑰的信息，從而獲取密鑰。在加密系統(tǒng)中，使用錯(cuò)誤密鑰的解密結(jié)果見(jiàn)圖3?？梢钥闯鲥e(cuò)誤密鑰對(duì)加密圖進(jìn)行解密無(wú)法得到原始圖像的任何信息。

（3）直方圖分析

圖4為對(duì)圖像進(jìn)行加密前后的直方圖。圖4（a）和圖4（b）比較，可見(jiàn)使用本算法所得的密圖的直方圖分布很均勻，完全掩蓋了變換前的分布規(guī)律，才能使破譯難度進(jìn)一步增加。

（4）相鄰像素的相關(guān)性

加密前圖像中相鄰像素的相關(guān)性明顯很大，降低相鄰兩個(gè)像素的相關(guān)性才能破壞統(tǒng)計(jì)攻擊。所以在原始圖像和加密圖像中各隨機(jī)選1000對(duì)像素對(duì)，測(cè)試其相關(guān)性（垂直方向、水平方向），并進(jìn)行相關(guān)系數(shù)計(jì)算。其中x，y表示像素灰度（兩個(gè)相鄰）。在測(cè)試中，使用如下3個(gè)離散化公式：

圖5給出了利用本算法對(duì)Lena圖像進(jìn)行加密前后圖像的相鄰像素水平相關(guān)性。

表1列出了圖像加密前后相關(guān)系數(shù)（水平，垂直方向）。由表1和圖5可見(jiàn)，加密后圖像相鄰像素間的相關(guān)性要遠(yuǎn)小于Lena原圖像的，這表明本算法具有較強(qiáng)的抗統(tǒng)計(jì)分析能力。

（5）差分攻擊

攻擊者通過(guò)圖像中很小的一點(diǎn)（例如一個(gè)像素）來(lái)觀察加密后圖像的變化，來(lái)破解加密圖像。

這里以原始圖像一個(gè)像素的改變對(duì)加密圖像的影響為例測(cè)試了差分攻擊。先定義了兩個(gè)量：歸一化平均變化強(qiáng)度（UACI）和像素變化率（NPCR）。令加密圖像（兩幅）分別為C1和C2，這些圖像只有一個(gè)像素的改變。像素在位置（i，j）的灰度值為C1（i，j）和C2（i，j）。定義一個(gè)二值矩陣D，它和C1與C2有相同的尺寸。若C1（i，j）=C2（i，j），則D（i，j）=1；否則D（i，j）=0。

NPCR定義為：

UACI定義為：

經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到NPCR=0.424%，UACI=27.12%，由此可見(jiàn)算法不僅僅對(duì)密鑰是敏感的，對(duì)要加密的圖像也是非常敏感的，可見(jiàn)可以有效地抵抗差分攻擊。

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