鑒于傳統(tǒng)圖像加密技術(shù)和低維混沌加密技術(shù)各自的局限性，將Lorenz混沌系統(tǒng)與數(shù)字圖像置亂技術(shù)相結(jié)合，我們?cè)O(shè)計(jì)了一種基于三維混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法。這種加密算法，首先，對(duì)系統(tǒng)輸出的實(shí)數(shù)值混沌序列進(jìn)行預(yù)處理；其次，以此實(shí)數(shù)值混沌序列直接構(gòu)造圖像置亂索引矩陣；最后，以8×8塊為單位實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的空域加密。

一、Lorenz混沌序列及預(yù)處理

混沌之所以適合于數(shù)字信息文件加密，是因?yàn)榛煦邕\(yùn)動(dòng)具有以下特征：（1）既非周期又不收斂，運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)遍歷整個(gè)區(qū)域；（2）運(yùn)動(dòng)軌跡在有限區(qū)域內(nèi)不斷伸縮、折疊，使系統(tǒng)輸出類似于隨機(jī)噪聲；（3）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)對(duì)初始值極為敏感，任意接近兩點(diǎn)的長(zhǎng)期運(yùn)動(dòng)不可預(yù)測(cè)。這些動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)使得混沌序列寬頻帶，類隨機(jī)，難以破譯：隨初始值的不同能產(chǎn)生大量不相關(guān)的混沌序列，加密空間大；由確定性系統(tǒng)產(chǎn)生，使得混沌序列可控制可再生，為加密和解密提供了可能。

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，以Lorenz系統(tǒng)生成加密混沌序列有三大優(yōu)點(diǎn)：一是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較低維系統(tǒng)復(fù)雜，系統(tǒng)變量的實(shí)數(shù)值序列更不可預(yù)測(cè)；二是對(duì)系統(tǒng)輸出的實(shí)數(shù)值混沌序列
進(jìn)行處理，可產(chǎn)生單變量或多變量組合的加密混沌序列，使得加密序列的設(shè)計(jì)非常靈活；三是系統(tǒng)的三個(gè)初始值和三個(gè)參數(shù)都可以作為生成加密混沌序列的種子密鑰，若設(shè)計(jì)過(guò)程中再加入部分控制變量，圖像加密算法的密鑰空間將大大高于低維混沌系統(tǒng)。

Lorenz系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式中，σ，r，b為系統(tǒng)參數(shù)，典型值為σ=10，r=28，b=8/3。在保持σ、b不變，r>24.74時(shí)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)。Lorenz三維系統(tǒng)需要用數(shù)值積分來(lái)求得實(shí)數(shù)值混沌序列，典型的數(shù)值積分法有一階Eujer法和四階Runge-Kutta法，前者計(jì)算量和計(jì)算精度遠(yuǎn)比后者低，但對(duì)圖像置亂來(lái)說(shuō)，考慮的是混沌序列類隨機(jī)性所能達(dá)到的置亂程度，并不考慮混沌序列取值的精確度．所以本算法回歸采用一階Euler法，既不失Lorenz系統(tǒng)的混沌特性，又能提高算法的計(jì)算速度。

僅以x序列的特性為示例，如圖1所示。系統(tǒng)初始值：xo=1.1840，yo= 1.3627，zo=1.2519。控制參數(shù)：σ=10，r=28，b=8/3。積分步長(zhǎng)h=0.001，迭代次數(shù)n= 10的4次方；截取長(zhǎng)度34000-35 000。按照Golomb對(duì)偽隨機(jī)序列提出的三個(gè)公設(shè)，理想的混沌序列應(yīng)具有的統(tǒng)計(jì)特性：均勻分布，自相關(guān)是δ函數(shù)，互相關(guān)是零。而在上述條件下，x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列值域分別為-20 <x<20，-28<y<28，0<z<50，不利于批處理；平均值分別為Vx= -1.9999，Vy= -2.008，Vz=24.066，均勻分布特性較差：局部取值呈現(xiàn)一定的單調(diào)性，容易被破譯；自相關(guān)和互相關(guān)特性均不夠理想，限制了序列的靈活使用。

通過(guò)近千組數(shù)據(jù)分析，對(duì)x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列需要做如下預(yù)處理：（1）去除各實(shí)數(shù)值的整數(shù)部分，統(tǒng)一值域；（2）為增強(qiáng)序列取值的無(wú)規(guī)則性及整體分布的均勻性，在去整的基礎(chǔ)上再將小數(shù)點(diǎn)后移數(shù)位。整個(gè)預(yù)處理過(guò)程可由下式實(shí)現(xiàn)：

式中，round(.)為取最接近整數(shù)運(yùn)算。

圖2是預(yù)處理后工實(shí)數(shù)值混沌序列及自相關(guān)特性和與y序列的互相關(guān)性，預(yù)處理結(jié)果：x，y，z列的值域?yàn)?-0.5，0.5)：平均值Vx=-0.001 3897，Vy=-0.000 903 0，Vz=0.0008211，基本接近于零；自相關(guān)Rrmax=0.0126，Rrmay=0.013 1，Rrmaz=0.0094，即自相關(guān)特性是較理想的6函數(shù)；互相關(guān)最大偏差Rcxmax= 0.0147，Rcymax=0.0 11 9，Rczmax 0.012 1，即互相關(guān)特性近似為零特性；x，y，z序列取值更加無(wú)規(guī)則。比較圖1和圖2可以直觀地看出，預(yù)處理后的混沌序列具有良好的均勻分布特性、隨機(jī)統(tǒng)計(jì)特性和相關(guān)特性。

本文還對(duì)預(yù)處理后的x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列對(duì)初始值和系統(tǒng)參數(shù)敏感性做了測(cè)試。表1給出了以系統(tǒng)參數(shù)r和初始值x0而發(fā)生微小變化為例的測(cè)試結(jié)果，其中的位變化率指索引序列（定義在后）的位變化率?？梢钥闯?，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)r和初始值xo發(fā)生10的-10次方微小變化時(shí)，除去序列的初始段，索引序列的位變化率達(dá)100%。

結(jié)果表明；預(yù)處理后的x,y,z序列有著更強(qiáng)的偽隨機(jī)特性，用于圖像置亂將會(huì)有更好的置亂效果；良好的相關(guān)特性使x，y，z三序列可獨(dú)立地構(gòu)成三個(gè)單變量加密混沌序列，也可多變量組合構(gòu)成多個(gè)加密混沌序列，有望實(shí)現(xiàn)圖像的多路并行加密；對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和初始值極強(qiáng)的敏感性說(shuō)明，除非確切知道密鑰，否則很難進(jìn)行有效的解密。理論上本算法密鑰空間為無(wú)窮大，可以很方便地構(gòu)成一次一密的密鑰體制。由此說(shuō)明預(yù)處理過(guò)程是正確可行的。

二、圖像加密算法和解密算法

本文基于圖像空間幾何置亂的機(jī)理，利用Lorenz系統(tǒng)的混沌序列來(lái)構(gòu)造置亂規(guī)則矩陣P，在此稱為置亂索引矩陣。

（1）定義P，其任一元素Pij∈_{1，2．…，l），且Pij=Pkl，當(dāng)且僅當(dāng)i=j，k=l；

（2）按需要長(zhǎng)度，隨機(jī)截取預(yù)處理后的x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列，然后按升序排列，[x，lx]=sort(x)[y,ly]=sort(y)，[z，lz]sort(z)；

（3）索引序列l(wèi)x，ly，lz即用來(lái)構(gòu)造置亂索引矩陣Px，Py，Pz。索引序列指定Px，Py，Pz中各元素的幾何位置，各元素按索引序列的順序賦為1-l的自然數(shù)。

為提高圖像文件加密效率，不破壞圖像壓縮效果，將圖像進(jìn)行8x8分塊，以塊為單位對(duì)圖像進(jìn)行全局置亂變換。因?yàn)镴PEG是以8x8的圖像塊為基本單位進(jìn)行編碼的，所以這樣做不影響塊的DCT系數(shù)的分布，使得Huffman編碼表能按最優(yōu)方式使用，因此該圖像加密算法能抵抗圖像壓縮攻擊。這樣整個(gè)加密算法的步驟如下：

（1）輸入原始圖像，預(yù)處理：邊界填充0（黑色），使圖像大小為8x8塊的整數(shù)倍。

（2）構(gòu)造置亂索引矩陣，輸入密鑰（σ，r，b；x0，yo，zo)，生成實(shí)數(shù)值混沌序列｛xi；i=1，2，3，...}，｛yi；i=1，2，3，...}，｛zi；i=1，2，3，...}，對(duì)x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列進(jìn)行預(yù)處理；按需要長(zhǎng)度l= (MxN）/(8x8)隨機(jī)截取實(shí)數(shù)值混沌序列，生成索引序列｛lx；i=1，2，3，...}，｛ly；i=1，2，3，...}，｛lz；i=1，2，3，...}；構(gòu)造置亂索引矩陣Px，Py，Pz。

（3）圖像置亂。以塊為單位，按置亂索引矩陣規(guī)則，重排圖像各塊的幾何位置。

解密算法是上述加密算法的逆過(guò)程。

從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，整個(gè)圖像加密算法主要由三部分組成，一是對(duì)實(shí)數(shù)值混沌序列的預(yù)處理，二是構(gòu)造置亂索引矩陣，三是以塊為單位的空域全局置亂。這里韻關(guān)鍵是對(duì)x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列進(jìn)行預(yù)處理，使其具有更強(qiáng)的偽隨機(jī)特性，以加強(qiáng)置亂索引矩陣的隨機(jī)性，從而提高圖像置亂程度和算法的破譯難度：Lorcnz混沌系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和初始值高度敏感性，使得算法的密鑰空間非常大，使加密者可以隨意地選擇密鑰，這樣的選擇可以使算法有著幾乎一次一密的安全特性。

三、仿真

選擇具有不同紋理特征，大小均為512x512的Lena, Peppcrs，Plane三幅標(biāo)準(zhǔn)圖像作為仿真對(duì)象，如圖3所示。

選擇密鑰覷參數(shù)σ=10，r=28，b=8/3。初始值x0= 1.1840，yo=1.3627，zo=1.2519。分別用x，y，z實(shí)數(shù)值混沌序列對(duì)三幅圖像文件進(jìn)行加密，結(jié)果如圖4所示。

圖5是以Lcna圖像為例的正確解密圖像和錯(cuò)誤解密圖像，錯(cuò)誤解密圖像分別對(duì)應(yīng)參數(shù)r有10-10偏差和初值xo有10-1o偏差時(shí)的錯(cuò)誤解密，如果要采取唯密文攻擊的話，要三幅圖像都正確解密，則要搜索的密鑰量高達(dá)3x40961。如果圖像更大，可以說(shuō)算法能夠抵抗唯密文攻擊，對(duì)選擇明文的攻擊也有較高的安全性。

數(shù)字圖像在傳輸過(guò)程中，很難避免一些必要的數(shù)據(jù)處理或人為攻擊，如壓縮、濾波、噪聲污染及幾何失真等．對(duì)一些比較常見(jiàn)的處理和攻擊，本文也進(jìn)行了仿真測(cè)試，測(cè)試結(jié)果以圖6示之，其中三圖分別是以Lena為例的加密圖像經(jīng)JPEG壓縮后的解密圖像，以Peppers為例的加密圖像受到IO%的高斯噪聲污染后的解密圖像，以Planc為例的加密圖像經(jīng)破壞性的無(wú)規(guī)則剪切后的解密圖像，仿真結(jié)果表明，該圖像加密算法具有可行性、可靠性以及抗攻擊和抗干擾能力。

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