基于多重菲涅耳衍射變換和相位密碼板，我們設(shè)計(jì)了一種新的圖像文件加密方法，該方法將待加密的明文圖像文件在多重離散菲涅耳衍射變換和相位密碼板的共同作用下，變換為一個具有隨機(jī)碼特征的密文矩陣；衍射距離和相位密碼板是主要的密鑰，只有當(dāng)所有密鑰都正確時，才能成功地解密密文文件。

一、圖像文件加密理論模型和計(jì)算方法

1、圖像文件加密過程

所謂圖像文件加密，就是對圖像文件作多重菲涅耳衍射變換見圖1。圖中Z1、Z2、Z2'、Z3'、…、Zn'示意空間距離；P0、P1、P1'、P2、P'2、P3'、…、Pn'示意觀察或計(jì)算參考平面，相位密碼板位于各計(jì)算參考面P'2、P3'、…、Pn'之前；I。、I1、I1'、I2、I'2、I3'、…、In'示意各平面處的光場分布。位于平面Po處的圖像1。在平行光照射下，經(jīng)空間距離Z1傳播到平面P1；再經(jīng)焦距為廠的透鏡傳播到平面P1’；從此開始，在距離為(Z2'、Z3、…、Zn')的多重菲涅耳衍射變換和相位密碼板的共同作用下，在平面Pn處獲得原圖像的多重菲涅耳衍射變換結(jié)果In'—所謂密文，從而完成對圖像文件加密過程，密鑰就是衍射距離、相位密碼板等。需要說明的是：圖中的實(shí)線可對應(yīng)實(shí)際光路，而虛線對應(yīng)數(shù)值計(jì)算。

由光學(xué)菲涅耳衍射變換知，大小為(N×N)的圖像I0，經(jīng)過距離Z1由平面Po傳播到平面P1時變換為I1，于是有：

式中，忽略了一些無關(guān)緊要的系數(shù)和常量相位因子，式中△0和△1分別是平面Po和P1處的像素間距。

為方便起見，用符號DFDT( Discrete-Fresnel-Diffraction-Transform)將式(1)標(biāo)記為：

其意為I0經(jīng)距離Z1由離散菲涅耳衍射變換成I1。

隨后，I0經(jīng)透鏡的作用變?yōu)椤?，即增加一相位因子，如?3)：

由式(1)不難看出，所謂離散菲涅耳衍射變換實(shí)際上是離散傅里葉變換的一種變形，就是在空域和頻域各增加了一個二次相位因子。由于二次相位因子帶有光波長和衍射距離，因此可利用這一特性來加密圖像，但這種加密的密鑰只是幾個簡單的數(shù)，加密系統(tǒng)的安全性不能確保，因此可通過在空域和頻域再增加一個相位密碼板來提高系統(tǒng)的安全性，而相位密碼板是這樣形成的：將大小為(N×N)的二值圖像Ie0經(jīng)距離z。作離散菲涅耳衍射變換，然后提取其相角，從而得到所謂相位密碼板矩陣，如式(4)、(5)。

從平面P1開始，In'經(jīng)一系列衍射距離(Z2'、Z3'、…、Zn')和相位密碼板Φe，作多重菲涅耳衍射變換，最后在平面Pn'處變換成In'，如圖1中的虛線所示，于是就完成了所謂加密過程，如式(6)：

由此可知密文矩陣In'為一復(fù)矩陣，如將其作為圖像直接傳輸或存儲，則往往因其虛數(shù)部分遭舍棄而導(dǎo)致解密失敗。為盡可能地保留復(fù)矩陣In'的信息，可采取以下做法：設(shè)IR和II分別為復(fù)矩陣In'的實(shí)部和虛部，由于矩陣IR和II有些值是負(fù)值，可將矩陣IR和II變換為(0～1)的正數(shù)（這樣處理便于一些圖像處理軟件來顯示和存儲該數(shù)據(jù)），然后將兩矩陣IR和II按照式(7)合并擴(kuò)充為(2N×2N)的大矩陣Ip。

于是初始密文復(fù)矩陣I1'轉(zhuǎn)化為最終密文矩陣Ip，它是一個正實(shí)數(shù)值矩陣，作為原始明文圖像的擁有者，將其擁有的計(jì)算式(1～6)中的照射光波長λ、透鏡焦距f、一系列衍射距離和相位密碼板等作為加密密鑰。

2、解密過程

如擁有者想從密文圖像Ip中解密恢復(fù)原始明文圖像I0，那么他應(yīng)首先由Ip來重構(gòu)In'，即有：

隨后對In'進(jìn)行上述加密過程的逆運(yùn)算，即將In'經(jīng)一系列距離反向作菲涅耳衍射變換，且每次都通過相位密碼板的復(fù)共軛，最后可恢復(fù)得到I1'，如式(9)：

至此，還應(yīng)將I1'向前作菲涅耳衍射變換，如果距離Z2滿足：

則在平面P2處可觀測得到原圖像I0的倒像I2，光路如圖1中的實(shí)線，相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果如式(11)，式中I0（一m，一n）表示原圖像I0的倒像。若取I2的模，則式中的二次相位因子消失，獲得原圖像I0的倒像，如式(12)：

二、仿真計(jì)算結(jié)果和討論

1、 圖像文件加密和解密

圖2為加密用圖，其中圖2(a)為(128×128×2 bit)原始相位密碼母板，圖2(b)為其經(jīng)離散菲涅耳衍射變換處理所得的相位密碼板矩陣。為計(jì)算方便設(shè)定所有觀察面的像素間距△=O.1 mm，照射光波長λ=?632.8 nm，物距z1 - 31 mm，焦距f=20 mm，相位密碼母板作菲涅耳衍射的衍射距離ze=53 mm，圖2(c)為(128×128×8 bit)原始灰度莉娜圖像I0，此圖需加密。

原始莉娜圖像I0經(jīng)一系列衍射距離和相位密碼板，作多重菲涅耳衍射變換，實(shí)現(xiàn)加密，結(jié)果如圖3。其中圖3(a)和(e)分別是原莉娜圖I0在平面P1’的光場分布I1'的實(shí)部和虛部，圖中有典型的菲涅耳衍射變換的圓圈結(jié)構(gòu)。從平面P1'開始，隨后一系列衍射距離為(Z2'、Z3'、…、Z11')一(23，1 7，29，31，21，27，43，11，19，1 3)mm，最后在平面P'11處得到原莉娜圖I0。的11重菲涅耳衍射變換I11'，其實(shí)部和虛部經(jīng)度縮放處理成(0，1)的正數(shù)，分別如圖3(d)和(h)。從中不難看出I'11已明顯和I'1不同，已變換成近隨機(jī)分布。應(yīng)該說明的是：圖3(b)和(f)、(c)和(g)分別是第二次和第三次變換的結(jié)果I2'和I3'的實(shí)部和虛部。第二次變換I2'還有些特征結(jié)構(gòu)，然而從第三次變換開始，變換的結(jié)果幾乎是隨機(jī)亂碼。為進(jìn)一步增強(qiáng)加密系統(tǒng)的安全性，采取第11次變換的結(jié)果I'11作為最終密文。

現(xiàn)將I’11的實(shí)部I’R和虛部II按照式(7)的編排，拼成大矩陣Ip。由于Ip的任何一個元素都是(0，1)正數(shù)，因此很方便被一些圖像顯示軟件來顯示、傳輸和存儲，Ip的顯示結(jié)果如圖4(a)，Ip即為所需的最終密文圖像，可將此圖像通過公共信道傳輸出去或存儲起來。圖4(b)為從圖4(a)中解密恢復(fù)出來的圖像，是原始圖像I0的倒像。

2、圖像算法的魯棒性實(shí)驗(yàn)

將編排處理后的最終密文圖像Ip進(jìn)行JPEG有損壓縮、剪切、疊加噪音等處理，然后進(jìn)行解密，以檢驗(yàn)本算法的魯棒性是否“健壯”．對圖像Ip進(jìn)行JPEG有損壓縮，相應(yīng)的壓縮品質(zhì)分別為8、5、3、1，然后從中解密恢復(fù)圖像，結(jié)果見5(a)。將圖像Ip進(jìn)行剪切，見6(a)～(d)，其解密恢復(fù)的圖像相應(yīng)地如圖6(e)～(h)。圖7(a)、(b)、(c)、(d)為從疊加隨機(jī)分布高斯型噪音的圖像Ip中恢復(fù)的圖像，對應(yīng)的噪點(diǎn)量分別為3、7、10、13。圖8為從顯示屏幕上硬拷貝獲取的圖像中解密出來結(jié)果。由于圖像是正實(shí)數(shù)值編碼，因此通過顯示屏幕硬拷貝也能從中恢復(fù)圖像。

3、圖像加密算法的安全性分析

（1）抗不正確的解密碼攻擊

本文采用的加密密鑰有：光波長λ、物距Z1、透鏡焦距f、10次衍射距離、相位密碼板及其衍射距離Ze。下面嘗試用一個不正確的密鑰，如光波長、透鏡焦距、物距Z1、衍射距離和密碼模板，并且假設(shè)其它密鑰都正確的情況下來解密密文圖像Ip，解密結(jié)果如圖9。圖9(a)為用不正確的光波(λ=630 nm)解密的結(jié)果（小數(shù)點(diǎn)后的值表示不正確的數(shù)據(jù)部分），圖9(b)為不正確的透鏡焦距f=20.1 mm的解密結(jié)果，圖9(c)、(d)、(e)、(f)、(h)分別為不正確的距離密鑰Z1= 31.4 mm、Z2'=23.1 mm、Z6'=21.1 mm、Z8'=43.1nun、Z11'=13.1mm的解密結(jié)果，需要說明的是圖9(h)僅將密碼母板沿對角線往對角線右下方平移一個像素來解密的結(jié)果，從中可看出只有所有解密碼都正確時，才能解密出正確圖像。

（2）加密系統(tǒng)安全性分析

對于(128×128)大小的圖像來說，本文所采用的相位密碼板的密鑰空間將達(dá)到2128 X128；至于其它密鑰，按照兩位有效數(shù)字來保守估算，其密鑰空間將達(dá)到102X14；因此，本文的密鑰空間將是：

在一臺普通個人計(jì)算機(jī)(配置：CPU1.4G，RAM 768M)和Matlab軟件平臺上，本文加密計(jì)算時間約為1 min。若采取窮舉法來攻擊本加密系統(tǒng)，其計(jì)算時間將是無法承受的。

對雙隨機(jī)相位密碼系統(tǒng)，用“已知明文攻擊”的相位迭代恢復(fù)算法來破譯密文，需經(jīng)1 000次迭代計(jì)算，才能獲得含噪音的不完全解密的圖像，該解密圖像與原圖像相差很大，而本加密系統(tǒng)采取了10次菲涅耳衍射變換和相位密碼板作用，相當(dāng)于采用10個隨機(jī)相位密碼矩陣，若采取所謂“已知明文攻擊”的相位迭代恢復(fù)算法來進(jìn)行破譯，則至少需要1 0009次迭代計(jì)算；再考慮其它三個密鑰：光波長、物距、焦距，則總共要1 0009×106次迭代計(jì)算。若每次迭代計(jì)算時間按照1 min來對待，采用迭代計(jì)算，其花費(fèi)的時間也是不可接受的．此外還可以預(yù)料：隨著多重菲涅耳衍射變換和相位密碼板作用次數(shù)的增加，即使采用“已知明文攻擊”的相位迭代恢復(fù)算法能解密圖像，但是解密出來的圖像質(zhì)量非常差，甚至失敗，相對于“相位迭代恢復(fù)算法”攻擊，本文加密算法是一個容易過程，徜若需要，可以增加多重菲涅耳衍射變換和相位密碼板作用的次數(shù)，卻不會增加太多的加密計(jì)算時間；但是會給用“已知明文攻擊”的相位迭代恢復(fù)算法來破譯密文變得更加困難，保守估算：每增加一次變換，就會使破譯攻擊付出1 000次迭代計(jì)算的代價，而且還會使解密圖像質(zhì)量大大下降。

對雙隨機(jī)相位密碼系統(tǒng)來說，由于采用“雙隨機(jī)相位矩陣”作密鑰，其數(shù)據(jù)量巨大，即密鑰的開銷大，使密鑰管理和使用顯得不方便，但是，本加密系統(tǒng)，只采用一個相位密碼矩陣和十幾個簡單的數(shù)作為密鑰，而且相位密碼矩陣是由一個簡單二值圖像（或符號或文字等）在距離密鑰控制下作菲涅耳衍射變換而來，密鑰開銷很小，但是效果卻與采用隨機(jī)相位矩陣加密的效果相近一只需要作三次菲涅耳衍射變換、經(jīng)兩次相位密碼板作用，就使密文變成隨機(jī)碼。因此，可以看到本加密算法密鑰開銷較小，密鑰管理和使用很方便，安全性高。

4、關(guān)于實(shí)現(xiàn)光學(xué)加密和解密存在的問題分析

從前面的數(shù)值計(jì)算可知：只有當(dāng)相位密碼板的位置精確匹配時，解密才能成功；哪怕是錯位一個像素，都會導(dǎo)致解密失敗。在數(shù)值計(jì)算上，實(shí)現(xiàn)相位密碼板的匹配不存在任何困難，于是加密和解密很容易完成，但是要在光學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)多重菲涅耳衍射變換加密和解密，存在很大困難，必須先要解決以下幾個主要技術(shù)難題：一是相位密碼板的精確匹配和定位；二是加密圖像的記錄和重建；三是多重衍射的效率，相位密碼板的位置可由高準(zhǔn)確度的五維微調(diào)架控制，再輔以激光準(zhǔn)直技術(shù)，可以精確控制其位置。加密圖像的記錄和重建可采用光全息技術(shù)實(shí)現(xiàn)，采用較大功率的激光光源，可以提高衍射的強(qiáng)度。當(dāng)然，這需要今后進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)證實(shí)。

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