離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換和線性同余理論，我們提出一種單通道雙彩色圖像加密算法。該加密算法將輸入的兩幅RGB圖像轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的索引圖像格式，其中一幅2維索引圖像被編碼為振幅部分，另一幅則被編碼為空域相位掩模。分?jǐn)?shù)域相位掩模由線性同余發(fā)生器(LCG)生成，并將彩色映射矩陣嵌入其中。引入光學(xué)幅相調(diào)制技術(shù)，在不增加光學(xué)元件的基礎(chǔ)上來(lái)實(shí)現(xiàn)了雙彩色圖像文件加密。

一、基于DFrRT的單通道雙彩色圖像加密算法

1、采用LCG(Linear Congruential Generator)隨機(jī)化分?jǐn)?shù)傅里葉變換的核矩陣

2維信號(hào)B的離散分?jǐn)?shù)隨機(jī)變換表示為：

式中T表示矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，p是DFrRT的分?jǐn)?shù)階。變換核矩陣Hp表示為：

其中y為本征向量矩陣，Dp為DFrRT本征值的對(duì)角矩陣：

式中t是DFrRT的周期。隨機(jī)化本征向量就使Hp具有了隨機(jī)性，因而生成隨機(jī)化的本征向量是DFrRT的核心。目前利用計(jì)算機(jī)生成均勻隨機(jī)數(shù)的常用方法是LCG法，遞推關(guān)系為：

其中初值x0(0≤x0<M)，乘數(shù)a(0≤a<M)，增量c（0≤c<M），模數(shù)M(M>0)為算法的4個(gè)參數(shù)。利用LCG生成的隨機(jī)序列重構(gòu)一個(gè)2維偽隨機(jī)矩陣R，并生成一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣S：

矩陣S與Hp滿足HpS=SHp，它們具有相同的本征向量，數(shù)值計(jì)算方法可以得到矩陣S的歸一化本征向量。矩陣S是對(duì)稱的隨機(jī)矩陣，所以Hp的本征向量相互正交且具有隨機(jī)性，LCG參數(shù)的變化將導(dǎo)致DFrRT結(jié)果的改變。

2、單通道雙彩色圖像加密算法

RGB圖像可看作由紅、綠、藍(lán)分量形成的堆，索引圖像是一種把像素值直接作為彩色映射矩陣下標(biāo)的圖像。索引圖像包含兩個(gè)分量：整數(shù)的數(shù)據(jù)矩陣和一個(gè)取值范圍在[0，1]之間的彩色映射矩陣Z，Z的每一行都定義單色的紅、綠、藍(lán)3個(gè)分量。索引圖像將每個(gè)像素的顏色由對(duì)應(yīng)的整數(shù)矩陣的值作為指向Z的一個(gè)指針決定。本文加密算法將兩幅RGB格式的彩圖1和彩圖2分別轉(zhuǎn)換成索引格式圖像，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣為A1和A2，對(duì)應(yīng)的彩色映射矩陣為Z1和Z2，把Z1和Z2嵌入由LCG生成的偽隨機(jī)矩陣R中作為相位信息A3。由于R和Z的取值范圍都在[0，1]之間，A3既保持了R的隨機(jī)性和均勻性，又隱藏了Z1和Z2。分別對(duì)A1，A2和A3做歸一化處理以限定它們?cè)谙辔环植己瘮?shù)和振幅函數(shù)的范圍中。

這里取A=1+max(A1，A2)。加密過(guò)程如圖1(a)所示。

運(yùn)用空間光調(diào)制器(SLM)，分別將I2和I3調(diào)制成空域相位掩模M1（x，y）和分?jǐn)?shù)域相位掩模M2（u，v），即：

明文I1在空域被Mi調(diào)制，構(gòu)成入射波函數(shù)G(x，y)= I1(x，y)M1(x，y)，對(duì)G(x，y)進(jìn)行一次p1階的DFrRT，在分?jǐn)?shù)域平面(u，v)上得到：

用分?jǐn)?shù)域相位掩模M2對(duì)|G1|進(jìn)行相位調(diào)制，|*|表示計(jì)算復(fù)函數(shù)的模值。對(duì)調(diào)制后信息進(jìn)行p2階DFrRT，在輸出平面上得到的密文為：

除了傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階參數(shù)p1，p2作為密鑰外，本文加密算法還增加了隨機(jī)化變換核矩陣時(shí)LCG的4個(gè)參數(shù)作為密鑰。相位密鑰是本文算法的關(guān)鍵，相位密鑰ω和輸出相位ψ的關(guān)系為：

其中Arg*]表示計(jì)算復(fù)函數(shù)相位值。輸出密文為復(fù)振幅函數(shù)|G2’ (x'，y')|exp [iψ(x'，y')]。

圖1(b)所示為解密流程，是上述加密過(guò)程的逆過(guò)程。由密文相角ψ，密鑰ω和|G2 |還原復(fù)函數(shù)G2 (x'，y')并進(jìn)行-p2階的DFrRT，得到：

由式中相位值能恢復(fù)明文I3，通過(guò)I3減去ω計(jì)算相角φ，結(jié)合|G 1|可以在分?jǐn)?shù)域平面上恢復(fù)出G1(u，v)。將G1(u，v)進(jìn)行-p1階DFrRT，I1和I2的解密過(guò)程為：

3、加密算法的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

DFrRT的實(shí)現(xiàn)目前還沒(méi)有嚴(yán)格的光學(xué)結(jié)構(gòu)，我們需要采用一種模擬光學(xué)裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)DFrRT。實(shí)現(xiàn)單通道雙彩色圖像加密算法的光電混合裝置如圖2所示。

第1次光學(xué)加密實(shí)現(xiàn)式(8)，復(fù)函數(shù)G1(u，v)的幅值可用CCD記錄，相位可采用3步相移數(shù)字全息技術(shù)檢測(cè)。在第2次光學(xué)加密前，SLM調(diào)制為M2，I1更換為|G1|，調(diào)整分?jǐn)?shù)域距離d以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階次的改變。實(shí)現(xiàn)式(9)的加密過(guò)程后，再用砂對(duì)|G2|進(jìn)行相位編碼。因本文采用的幅相調(diào)制技術(shù)同時(shí)完成雙彩色圖像單通道加密，便于用光學(xué)設(shè)備實(shí)現(xiàn)加密。

三、雙圖像加密算法的數(shù)值模擬

模擬中分?jǐn)?shù)階次p1 =0.3，p2=0.6；線性同余函數(shù)的參數(shù)x0=100，a=16805，c=7，M=231-1。

待加密的兩幅原始彩色圖像如圖3(a)，3(b)所示，圖3(c)是嵌入了彩色映射矩陣Z1和Z2的偽隨機(jī)相位矩陣A3，圖3(d)是最終密文的振幅輸出IG21，可以看出加密圖像類似于噪音圖像。圖3(e)，3(f)分別對(duì)應(yīng)2維索引圖像A1和A2的直方圖，圖3(g)對(duì)應(yīng)密文振幅的直方圖，加密圖像的直方圖明顯變平滑了，密碼分析者難以通過(guò)統(tǒng)計(jì)特性獲得原始圖像的特征。在密鑰相同的條件下，用歸一化的3幅灰度圖像替代I1，I2和I3，圖4表明用此加密算法加密統(tǒng)計(jì)特性完全不同的圖像，密文的直方圖非常相似。證明加密算法符合經(jīng)典密碼理論中的混淆與擴(kuò)散思想，可有效抵抗統(tǒng)計(jì)分析破譯。

根據(jù)彩色映射矩陣的嵌入方式，解密者可從I3還原Z1和Z2，結(jié)合I和I2還原的A1和A2恢復(fù)兩幅彩色圖像。當(dāng)所有密鑰都正確時(shí)，解密的彩色圖像如圖5(a)和圖6(a)所示，兩幅圖像間不存在相互串?dāng)_。本文加密算法對(duì)不同Z矩陣同時(shí)加密，尤其適用于有高保密要求的彩色圖像保護(hù)。

數(shù)值模擬中假設(shè)其它密鑰均正確，僅分?jǐn)?shù)階P1偏差0.01時(shí)的兩幅解密圖像如圖5(b)和圖6(b)所示；僅分?jǐn)?shù)階p2偏差0.01時(shí)的解密圖像如圖5(c)和圖6(c)所示；驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階密鑰的安全性。為了說(shuō)明LCG參數(shù)密鑰的安全性，引入偏差值△，假設(shè)其它密鑰均正確，圖5(d)，5(e)，5(f)和5(g)表示LCG的4個(gè)參數(shù)分別偏差△=1時(shí)對(duì)應(yīng)于彩圖1的解密圖像；圖6(d)，6(e)，6(f)和6(g)表示LCG的4個(gè)參數(shù)分別偏差△=1時(shí)對(duì)應(yīng)于彩圖2的解密圖像。

三、加密算法安全性分析

衡量解密圖像和原始圖像的相似程度一般采用均方誤差(MSE)。h1（i，j）和h2（i，j）分別代表原圖和解密圖像的灰度值，均方誤差定義如下：

其中M×N為圖像的大小。本文設(shè)定均方誤差3000作為閾值，當(dāng)均方誤差低于此閾值時(shí)，圖像的全部信息可以被復(fù)原。

1、相位密鑰安全性分析

模擬中假設(shè)其它密鑰正確，為了驗(yàn)證相位密鑰ω的安全性，給ω加入一定范圍的偏差，偏差后的相位密鑰為ω=ω+d△r，其中d是偏離的幅度，△r是均勻分布于區(qū)間[o，27r]的隨機(jī)相位。圖5(h)和圖6(h)所示為d-l時(shí)對(duì)應(yīng)的兩幅解密圖像。d在[-1，1]之間變化時(shí)，對(duì)應(yīng)I1和I2解密的兩條MSE曲線如圖7(a)所示，圖中用實(shí)線標(biāo)明了MSE閾值。I1和I2的MSE曲線在閾值以下部分d的變化范圍△di和△d2顯示于圖7(a)中。相位密鑰的大小為(256×256)，其變化區(qū)間為[01 27r]，且△d2<△d1=0.25，算法的密鑰空間近似為(271/0.25)256×256≈25256x256，這個(gè)龐大的數(shù)字表明盲解密者很難實(shí)施窮舉攻擊。

本加密算法中，密文和相位密鑰ω都與輸入圖像的彩色映射矩陣有關(guān)，攻擊者難以獲得大量的資源（如明文密文對(duì)）用于選擇密文攻擊，已知明文攻擊和選擇明文攻擊。唯密文攻擊只需一個(gè)完整的密文，也是常用的驗(yàn)證加密算法安全性的方法之一。如果攻擊者已知整個(gè)加密算法和除ω之外其它的密鑰，且獲得了密文|G2’ (x'，y')|exp [iψ(x'，y')]，基于相位迭代算法的唯密文攻擊方案設(shè)計(jì)為：

（1）以任意隨機(jī)相位ψ替代相位密鑰ω，完成式(11)和式(12)的解密過(guò)程；

（2）將第(1)步解密得到的I1，I2和I3代入式(8)和式(9)的加密過(guò)程，并計(jì)算新的相位密鑰ψ’；

（3）用第(2)步計(jì)算的相位密鑰ψ’再次替代相位密鑰ω，重復(fù)(1)到(3)步的計(jì)算，直到計(jì)算完成設(shè)定的迭代次數(shù)。

圖7(b)是唯密文攻擊者對(duì)圖像解密進(jìn)行500次迭代計(jì)算后，I1和I2解密隨迭代次數(shù)變化的均方誤差曲線。由圖可知，當(dāng)?shù)?jì)算進(jìn)行100次后，MSE沒(méi)有收斂趨勢(shì)，并且始終大于閾值3000，圖像不能被恢復(fù)，表明本文加密算法可以很好地抵抗唯密文攻擊。

2、DWRT密鑰安全性分析

為了考查加密方法對(duì)抗盲解密的能力，圖8(a)，8(b)分別對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)階密鑰pl和p2進(jìn)行了靈敏性分析，僅當(dāng)p1=0.3，p2=0.6，I1和I2才能完全復(fù)原；測(cè)試發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)分?jǐn)?shù)階的偏差值大于0.005時(shí)，MSE>3000，得到的解密圖像有相當(dāng)強(qiáng)的噪聲。分?jǐn)?shù)階密鑰具有很高的靈敏度，意味著密鑰空間巨大，窮舉攻擊很難成功。

隨機(jī)化離散FrFT的核矩陣時(shí)，把LCG產(chǎn)生的隨機(jī)矩陣和FrFT集成為一個(gè)隨機(jī)的變換，加密算法密鑰數(shù)量由2重增加到6重，加密更為安全。

圖9給出兩種變換分?jǐn)?shù)階密鑰對(duì)應(yīng)Il解密的MSE對(duì)比，DFrRT的靈敏性明顯好于FrFT。對(duì)應(yīng)LCG的4個(gè)參數(shù)密鑰的靈敏性分析如圖10所示，任何一個(gè)LCG參數(shù)的偏差量|△|>1時(shí)，MSE>5000；線性同余函數(shù)的4個(gè)參數(shù)作為密鑰具有幾乎相同的靈敏性，擁有巨大的密鑰空間，能有效抵抗窮舉攻擊。

3、魯棒性分析

圖像處理和傳輸過(guò)程中會(huì)有噪聲的影響或物理?yè)p壞，算法抵抗噪聲和裁剪攻擊的魯棒性很重要。均值為o，方差為0.1的高斯噪聲Ⅳ加入|G2|，噪聲干擾后加甯圖像振幅為|G2 ’|。

其中k是噪聲強(qiáng)度的系數(shù)。對(duì)應(yīng)k的變化，解密圖像I1和I2的均方誤差變化如圖11(a)所示，圖11(b)和11(c)分別為加密圖像受到k=0.5強(qiáng)度高斯噪聲攻擊后I1和I2的解密圖像，I1的解密效果明顯強(qiáng)于12。由圖11(a)可知，隨著k的增大，I2的MSE比I1的MSE增加更快，說(shuō)明調(diào)制在相位部分的圖像比調(diào)制在振幅部分的圖像更易受噪聲干擾，但兩者的MSE均小于2000，表明加密算法具有良好的抗噪聲攻擊能力。

圖12(a)為裁剪1/4后的加密圖像，圖12(b)和12(c)分別為裁剪攻擊后I1和I2的解密圖像。從模擬結(jié)果中可知，圖像的大部分信息依舊能夠恢復(fù)，該系統(tǒng)具有良好的抗裁剪攻擊能力。

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