目前，在幾何造型系統(tǒng)中的曲線曲面大多是以基函數(shù)模型的不同來構造的。因此，在幾何造型領域中的信息文件加密主要是通過對其相應的基函數(shù)的改變從而達到對其曲線曲面的加密。為此，我們提出了一種基于基函數(shù)系數(shù)矩陣混合的加密算法。通過此加密算法可以對三次均勻B樣條曲線曲面基函數(shù)的系數(shù)矩陣進行混合，從而達到對曲線曲面的加密。

一、基函數(shù)系數(shù)矩陣的混合

定義1 若矩陣F和G分別表示不同的自由曲線基函數(shù)的系數(shù)矩陣，α為滿足0≤α≤1的任一實數(shù)，則稱矩陣S：

為系數(shù)矩陣F和G的儀混合矩陣。 根據(jù)混合矩陣的定義，當混合參數(shù)α接近1時，混合矩陣S就接近于矩陣F，當混合參數(shù)α接近0時，混合矩陣就接近于矩陣G。這樣就可以利用此算法，將兩類不同的自由曲線的系數(shù)矩陣進行混合，從而實現(xiàn)對其中一類曲線曲面的加密。加密后的系數(shù)矩陣可以用下面的公式恢復：

二、基于矩陣融合的三次均勻B樣條曲線曲面的加密

B樣條采用具有最小支承性質(zhì)的B樣條函數(shù)作為基函數(shù)，利用控制頂點定義曲線曲面，不僅繼承了Bezier方法所具有的優(yōu)良的控制性質(zhì)，并且具有Bezier方法不能比擬的優(yōu)點：局部性，修改某一控制頂點只影響到與其相關的幾個控制頂點；與控制多邊形的逼近程度好。由于上述優(yōu)點，在當前的CAD／CAM系統(tǒng)中，B樣條曲線曲面已經(jīng)成為幾何造型的核心部分圈。 由于B樣條模型的廣泛應用，相應的就應該考慮它的加密問題，如果不對其進行處理的話就很容易遭到復制。下面將利用上述算法將三次Bezier曲線基函數(shù)的系數(shù)矩陣與三次B樣條曲線基函數(shù)的系數(shù)矩陣加以混合，從而達到對B樣條曲線和曲面的加密。

1、三次Bezier曲線基函數(shù)

Be zier曲線是以Bemstein多項式作為其基函數(shù)的，也叫Bemstein基函數(shù)。如下形式的多項式稱為n次Bemstein基函數(shù)：

其中：

由式（3）可得：三次Be zier曲線的基函數(shù)為：

由式（4）、（5）、（6）、（7）可得三次Be zier曲線基函數(shù)的系數(shù)矩陣F為：

2、三次B樣條曲線基函數(shù)

給定參數(shù)u軸上的節(jié)點分割，稱由下列遞推關系所確定的Bik（u）為Tn k上的k次B樣條基函數(shù)：

并約定0/0=0，式中k表示B樣條的冪次，u為節(jié)點，下標i為B樣條的序號。 由式（9）可得：三次B樣條曲線的基函數(shù)為：

由式（10）、（11）、（12），（13）可得三次B樣條曲線基函數(shù)的系 數(shù)矩陣G為：

3、α混合矩陣S

根據(jù)混合矩陣的定義，由式（1）可得：α混合矩陣S為：

將上述三次Be zier曲線基函數(shù)的系數(shù)矩陣F和三次B樣條基函數(shù)的系數(shù)矩陣G帶入上式并化簡可得：

以混合矩陣S作為系數(shù)矩陣的樣條的基函數(shù)為：

三、基于矩陣融合的三次B樣條曲線曲面加密算法實驗結果

1、三次均勻B樣條曲線的加密

三次B樣條曲線段的矩陣表示為（以系數(shù)矩陣G為基函數(shù)）

經(jīng)過系數(shù)矩陣混合后（以系數(shù)矩陣S為基函數(shù)）

實驗中，給定四個控制頂點Po(2，1)P1（3，4)P2（4，1）P3 （5，4)，由這四個控制頂點可以確定一條B樣條曲線。圖1給出了沒有加密的原始的三次B樣條曲線；圖2給出了經(jīng)過與三
次Be zier曲線基函數(shù)混合后不同取值的混合參數(shù)儀所對應的加密曲線。

2、雙三次B樣條曲面的加密

本文只討論了對雙三次B樣條曲面的加密。雙三次B樣條曲面片由包含16個頂點的特征網(wǎng)格定義。令網(wǎng)格為V：

雙三次B樣條曲面片的方程為：

式中：

經(jīng)過系數(shù)矩陣混合后，以矩陣S作為基函數(shù)的雙三次曲面片為：

式中只有基函數(shù)矩陣G替換為矩陣S：

試驗中，給出16個控制頂點分別是V11=(10 ，0)，V12=（9.5，2.5）， V13=（10.5，4.5），V14 =(11.5，5.5)，V21=(8， 2)， V22=(8 ，4), V23=（9，6）, V24=(10, 7.5)，V31 =(6， 3)，V32=(6，5)， V33 =（7，7)，V34=(8，8)，V41=(4，2)，V42=(4 ，4)，V43=（6， 6)，V44=(6， 7.5)。圖3給出了沒有加密前的雙三次B樣條曲面，圖4給出了經(jīng)過系數(shù)矩陣混合加密算法加密后混合參數(shù)α的不同取值所對應的雙三次B樣條曲面。

試驗結果表明，利用α混合矩陣生成的曲線曲面和原始的B樣條曲線曲面有一定相似度，并且可以通過調(diào)整混合參數(shù)儀的大小來得到滿意的加密結果，從而能夠較好地隱藏原始的B樣條曲線曲面。

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