為了提高圖像置亂后的保密性及提高信息隱藏的抗攻擊能力，使合法的用戶可以更多地自由選擇密鑰，受可逆線性變換整型化思想的啟發(fā)，我們提出了一種新的圖像加密算法——基于仿射變換的數(shù)字圖像置亂加密算法。

一、有限整數(shù)域上的擬仿射變換

1、整數(shù)域上的擬仿射變換

為引入整數(shù)域上擬仿射變換的定義，我們先看幾何仿射變換的定義。

定義1、仿射變換的一般形式為：

為便于與Arnold變換、排列變換、Fibonacci變換對(duì)照，將它寫成矩陣的形式：

其中a，b，c，d，e，f為實(shí)數(shù)．考慮到整數(shù)域上的特殊性（x．y，x’，y '）均為整數(shù)。通常式（1）我們并不能滿足要求，受可逆線性變換整型化思想的啟發(fā)，我們將根據(jù)式（1）構(gòu)造出一個(gè)整數(shù)到整數(shù)的變換，且滿足以下要求：

（1）變換是離散點(diǎn)域{（x，y）：x，y為整數(shù)}到其自身的單映射；

（2）變換是離散點(diǎn)域{（x，y）：x，y為整數(shù)}到其自身的滿映射，即變換是可逆的。

首先介紹整數(shù)提升變換的概念．對(duì)于變換：

可以構(gòu)造它所對(duì)應(yīng)的整數(shù)變換為：

其中[x]表示x的整數(shù)部分，加入0.5以實(shí)現(xiàn)舍人，從式(3)可以看出，如果輸入x，y為整數(shù)，那么經(jīng)過計(jì)算得到的x’，y’也必定為整數(shù)，同時(shí)，我們可以得到變換式(3)的逆變換式：

類似地，對(duì)于如下變換：

我們可以構(gòu)造它所對(duì)應(yīng)的整數(shù)變換為：

及式(6)的逆變換式：

定義2．我們稱式(3)，(6)為對(duì)應(yīng)于式(2)．(5)的整數(shù)提升變換，式(4)，(7)為式(3)，(6)的逆整數(shù)提升變換。

容易看出，整數(shù)提升變換的一個(gè)突出性質(zhì)就是可以實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的可逆變換．除此之外，整數(shù)提升變換的級(jí)聯(lián)也可以實(shí)現(xiàn)整數(shù)到整數(shù)的可逆變換．對(duì)于式(1)定義的一般仿射變換，當(dāng)滿足△=時(shí)，可將式（1），分解如下：

由式(8)，(9)可知，如對(duì)e，f簡(jiǎn)單舍人取整，其他部分以整數(shù)提升變換實(shí)現(xiàn)，則可以在整數(shù)域上實(shí)現(xiàn)式(1)所示之仿射變換，注意：當(dāng)△=-1時(shí)，第一次整數(shù)提升變換需作適當(dāng)?shù)男拚串?dāng)式(8)中的ad -bc或式(9)中的ad為-1時(shí)，式(3)，(4)中第二個(gè)等式的右面需加一負(fù)號(hào)；另外，為了減小舍人誤差，可將e，f融人最后一次整數(shù)提升變換中進(jìn)行舍人運(yùn)算。

值得指出的是，由于在各級(jí)整數(shù)提升變換中引入了非線性的舍入運(yùn)算，使得最后得到的結(jié)果不再是傳統(tǒng)意義上的仿射變換，對(duì)此我們引入如下定義：

定義3、對(duì)于式（1）定義的仿射變換，如果滿足，當(dāng)x，y∈x時(shí)，將整數(shù)提升變換實(shí)現(xiàn)的形式上的仿射變換稱為整數(shù)域上的擬仿射變換，簡(jiǎn)稱整數(shù)擬仿射變換，整數(shù)擬仿射變換有如下4條性質(zhì)：

性質(zhì)1、整數(shù)擬仿射變換的逆變換一定存在；

性質(zhì)2、整數(shù)擬仿射變換的和不一定是整數(shù)擬仿射變換；

性質(zhì)3、整數(shù)擬仿射變換的積仍然是整數(shù)擬仿射變換；

性質(zhì)4、整數(shù)擬仿射變換是整數(shù)域上的一一變換。

在實(shí)際應(yīng)用中，通常對(duì)x，y及x'，y’的取值范圍有一定的限制，如限定0≤x，x’<M，0≤y，y'<N，下面介紹有限整數(shù)域上的擬仿射變換的概念及構(gòu)造方法。

2、有限整數(shù)域上的擬仿射變換

定義4、有限整數(shù)域上的擬仿射變換( Quasi-Affine Transformation on Limited Integer Grids,QATLIG)，它首先是一個(gè)變換，滿足：

條件1、變換是離散點(diǎn)域{(x，y)：0≤x<M，0≤y<N }到其自身的單映射；

條件2、變換是離散點(diǎn)域{(x，y)：0≤x<M，0≤y<N}到其自身的滿映射。

其次，它是式(1)在有限整數(shù)域上的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，即可由式(1)改造而來，顯然，QATLIG和整數(shù)仿射變換有著密切的聯(lián)系，我們首先介紹有限整數(shù)域上的提升變換，在此基礎(chǔ)上給出QATLIG的構(gòu)造方法。

對(duì)于式(2)，(5)之線性變換，當(dāng)限定0≤x<M，0≤y<N時(shí)，可以構(gòu)造相應(yīng)的有限整數(shù)域上的提升變換如下：

對(duì)應(yīng)的逆變換為：

容易看出，有限整數(shù)域上的提升變換的一個(gè)突出性質(zhì)就是可以實(shí)現(xiàn)有限整數(shù)域到有限整數(shù)域的可逆變換．除此之外，有限整數(shù)域上的提升變換的級(jí)聯(lián)也可以實(shí)現(xiàn)有限整數(shù)域到有限整數(shù)域的可逆變換，對(duì)于式(1)定義的一般仿射變換，當(dāng)滿足時(shí)，由式(8)，(9)可知，如最后一步作如下變換：

其相應(yīng)的逆變換為：

其他部分以有限整數(shù)域上的提升變換實(shí)現(xiàn)，則可以在有限整數(shù)域上實(shí)現(xiàn)式(1)所示之仿射變換。另外，為了減小舍入誤差，可將e，f融入最后一次有限整數(shù)提升變換中進(jìn)行舍入及取模運(yùn)算，根據(jù)QATLIG的定義及其構(gòu)造方法，不難得到如下4條性質(zhì)：

性質(zhì)5、QATLIG的逆變換一定存在。

性質(zhì)6、QATLIG的和不一定是QATLIG。

性質(zhì)7、QATLIG的積仍然是QATLIG。

性質(zhì)8、QATLIG是有限整數(shù)域上的一一變換。

二、 QATLIG在圖像置亂中的應(yīng)用

一幅數(shù)字圖像可用矩陣A={a(i，j)}N×M表示，其中a(i，j)表示圖像在第f行第歹列像素處的灰度值（或RGB分量值）。

數(shù)字圖像的置亂原理是：將原來點(diǎn)(x，y)處像素對(duì)應(yīng)的灰度值或RGB顏色值移動(dòng)到變換后的點(diǎn)(x’，y')處。如果對(duì)一幅數(shù)字圖像迭代地使用QATLIG，即將式(2)左端的（x’，y’）T作為下一次相應(yīng)變換的輸入，則可重復(fù)這個(gè)過程一直做下去。

用第2節(jié)給出的QATLIG，隨機(jī)地選擇其變換系數(shù)（本例中，a= 9.4849113758545604e+002，b=13322919891824768e+004,c=5.7813914782433339e+∞8.d=8.12(J79454L5277645e+004,P=1.615675,5002857162e
+002,f=2.2755882099826667e+∞B)，對(duì)Airplane圖像(256×256像素)進(jìn)行置亂的效果如圖1所示。

從圖1可以看出，QATLIG用于圖像置亂有較好的置亂效果，在經(jīng)過2次迭代置亂變換后，可將原圖像的各種灰度值均勻地分布到圖像區(qū)域中，從而能較好地隱蔽原圖像的信息，為進(jìn)一步進(jìn)行圖像隱藏打下了良好的基礎(chǔ)．而對(duì)于其他形式的變換，如Arnold變換，要達(dá)到如此的置亂效果，至少要迭代10次以上。

三、QATLIG應(yīng)用于圖像置亂的周期性

對(duì)數(shù)字圖像A={a(i，j)}N×N，某一置亂變換關(guān)于A的周期T是指使得圖像A經(jīng)一系列變換后回復(fù)到A的最小次數(shù)。

顯然，上述定義除與具體A的大小有關(guān)外，還與A的具體內(nèi)容有關(guān)，它并不能完全刻畫出QATLIG的置亂性能，為此引入如下定義。

定義5、對(duì)大小為N×M的數(shù)字圖像A，我們說QATLIG(a．b，c，d，e，f)關(guān)于N×M的周期為T，是指當(dāng)A的任意兩個(gè)像素沒有相同的顏色值時(shí)，使得圖像A經(jīng)重復(fù)同一變換后又回復(fù)到A的最小變換次數(shù)為T。

下面以第3節(jié)實(shí)驗(yàn)中所給出的變換參數(shù)定義的QATLIG為例，假定圖像為N×N像素，按定義5求得其周期TNo及Arnold變換的周期TNA如表1所示。

在第3節(jié)中已經(jīng)指出，從數(shù)據(jù)文件加密的角度看，QATLIG優(yōu)于Arnold變換等幾何變換。另一方面，從信息隱藏的角度考慮，圖像置亂變換作為進(jìn)一步操作的預(yù)處理過程，比如置亂后再進(jìn)行隱藏，Arnold變換在進(jìn)行迭代置亂時(shí)，很多時(shí)候有較強(qiáng)的紋理特征，在用Cox的水印方法進(jìn)行隱藏時(shí)，為達(dá)到隱藏的目的就必須減小其強(qiáng)度控制參數(shù)，但這樣降低了隱蔽倍道的容量。而QATLIG具有這樣的特點(diǎn)：容易構(gòu)造出好的QATLIG(如第3節(jié)實(shí)驗(yàn)中所給出的變換參數(shù))，使得圖像置亂后，其各種灰度值均勻分布在圖像所在的區(qū)域({(x，y)：0≤x<M，0≤y<N且為整數(shù)}），減少了置亂圖像的紋理特征，從而可以增加隱蔽信道的容量。從信息隱藏的角度考慮，QATLIG也優(yōu)于Arnold等幾何變換。

四、基于仿射變換的數(shù)字圖像置亂加密算法優(yōu)點(diǎn)

（1）能適用于任意大小的圖像，有較大的適用性。

（2）6個(gè)變換參數(shù)中的5個(gè)可以選用隨機(jī)數(shù)，另外一個(gè)由約束確定．這大大方便了密鑰的選擇，增加了系統(tǒng)的安全性。

（3）置亂加密算法可以公開，秘密全寓于密鑰中，滿足密碼學(xué)中的Kerckhoffs假設(shè)。對(duì)于其他固定參數(shù)的置亂算法，密鑰只能存在于置亂次數(shù)中，但由于圖像置亂固有的周期性，因此單靠置亂次數(shù)作為密鑰是十分不安全的。

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