加密算法在非線性分?jǐn)?shù)階雙曲型方程中的使用
ice 1987 年，B lakley 和 R undell[3] 提出把分析數(shù)學(xué)應(yīng)用到密碼學(xué)，即基于偏微分方程及其反問題的理論構(gòu)造熱流密碼體制 (heat flow cryptosystem )．他們利用關(guān)于時(shí)間不可逆的整數(shù)階熱傳導(dǎo)方程構(gòu)造一類正向計(jì)算容易但反向求逆困難的函數(shù) (稱為單向散列函數(shù))，并進(jìn)一步利用偽拋物型方程的兩個(gè)初邊值問題構(gòu)造對(duì)稱密碼算法．其基本思想是利用偽拋物型方程在定解條件下正、反問題的適定性實(shí)現(xiàn)加密、解密的操作；保密性則 由方程系數(shù)未知的條件下偽拋物型方程反問題的不適定性來保證．目前，熱流密碼體制所取得的成果主要集中在兩個(gè)方面：基于不的偏微分方程模型構(gòu)造對(duì)稱密碼算法；探討各種數(shù)值方法的穩(wěn)定性、效率和精度，為熱流密碼體制建立穩(wěn)定、高效的計(jì)算格式．
1 非線性分?jǐn)?shù)階雙曲型方程
我們首先考慮線性方程
定義 1．1
作用在 B anach 空間上的有界線性算子半群 s (￡)，0t < ∞，被稱為強(qiáng)連續(xù)算子半群，如果 lim _+0 (t)“= 'it對(duì)任意 ∈X 都成立．作用在上的強(qiáng)連續(xù)有界線性算子半群也 叫做半群
接著我們給出關(guān)于一般抽象 C auchy 問題的解的存在性及爆破解的定理．設(shè) 亂= u(x ，t) 滿足下列抽象 C auchy 問題：
定義 1．2
若 U0 ∈X 且 N ∈L (0， ； )．由 (1．5) 給出的函數(shù) U ∈c ([0， ；X ) 是初值問題 (1．4) 在 [0，T 1上的溫和解．
定理 1．1[ 】 設(shè) Ⅳ 是從到的局部 Lipschitz 的非線性算子，且滿足(i) llⅣ(札)lixCbd(ii~llx )，Vu ∈X ，(ii) lIN (u1)一N (u2)IIx CLip(1l~lll，ll 2l1)lI，“1一U2llx ，其中d 和ip 是關(guān)于各 自變量的非減函數(shù)．那么對(duì)于 P > 0，存在(p) > 0，使得對(duì)于任意滿足 Iluo(x)P 的 uo(x)∈X ，問題 (1．4)存在唯一的溫和解 ( ，t)∈c ([0，Tm 】， )．進(jìn)一步地，則
定理 1．2 設(shè) 7 滿足 (1．10)且 = ( )∈X ，問題 (0．1)和 (0．2)存在唯一溫和解 ( )∈c ([0，T】；)．進(jìn)一步地，我們有以下能量守恒關(guān)系．方程 (0．1) 兩邊同乘以 t 再關(guān)于 X 積分，得:
利用類似于 (1．11) 的估計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)方程 (0．2) 的溫和解是可以全局存在的，對(duì)方程 (0，1)，我們有以下關(guān)于爆破解的結(jié)果．
定理 1．3若 Eo = E (u0(．)，釓1(．))0，或者 E o = 0 且uou]dx > 0，則定理 1．2 中方程 (0．1) 的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破，并且
注 1．1若> 0，對(duì) 0，1再附加條件，類似于文獻(xiàn) [7]中的討論，同樣可以得到關(guān)于爆破解的結(jié)論．注意到 (1．15) 弱于我們得到爆破解結(jié)論所依賴的條件，即?li m Ilu( )llLz( 。)∞·(1．18)
們沒有找到 (1．18)成立的條件，但是我們?cè)谙旅娴亩ɡ碇薪o出了 llu(t)ll~。的導(dǎo)數(shù)爆破條件．
注 2．1
加密系統(tǒng)最重要的性質(zhì)在于保證 J[)(E (M ))= M ，即保證明文加密后再解密仍然是原來的明文．而我們的加密方案的生成密文是通過數(shù)值方法得到的 u (x，to)，若以此 u(x，to) 求解方程 (2．1)來得出原來的初值 u( ，0)，其誤差取決于所使用的數(shù)值方法，有可能與真正的明文有較大的差別．為了減少這樣的誤差，實(shí)際的解密過程可以采用加密過程中求解方程 (0．2) 的差分格式，但迭代的方向和加密時(shí)相反，這樣解密就是加密的逆過程，可以有效減少最終明文的誤差，保證解密正確．
3 小結(jié)
本文分別討論了方程 (0．2) 的解的全局存在性以及方程 (0．1) 的解的局部存在性，并給出兩個(gè)關(guān)于爆破解的結(jié)論．我們指出利用方程 (0．2) 正、反問題的適定性，可以構(gòu)造熱流密碼體制的加密算法．因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值算法還不成熟，特別是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)力學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)的計(jì)算穩(wěn)定性至今還缺乏系統(tǒng)的分析研究，所以如何控制誤差傳播、構(gòu)造實(shí)用的加密算法 尚有待進(jìn)一步研究
