圖像加密技術(shù)是數(shù)字信息保護(hù)的一種有效手段。在信息技術(shù)的發(fā)展下，人們對(duì)圖像信息安全性的要求越來越高。為此我們提出了一種基于黑洞數(shù)和Logistic混沌序列的圖像加密算法。本算法通過對(duì)黑洞數(shù)的研究，利用黑洞數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生偽混沌序列，將該序列作為初始參數(shù)代入logistic算法，產(chǎn)生混沌密鑰流對(duì)圖像文件進(jìn)行加密。

一、混沌系統(tǒng)

混沌現(xiàn)象最早由美國氣象學(xué)家Lorenz ET發(fā)現(xiàn)。他在1963年進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)，利用計(jì)算機(jī)模擬天氣變化，發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)變化的非周期性和不可預(yù)測(cè)性之間的關(guān)系，給出了一個(gè)三變量自治方程（Lorenz方程）來描述混沌現(xiàn)象，并提出了用蝴蝶效應(yīng)來表達(dá)系統(tǒng)長期行為對(duì)初值的敏感依賴性?；煦缦到y(tǒng)還有遍歷性和內(nèi)隨機(jī)性。初值的敏感依賴性體現(xiàn)為：混沌算法產(chǎn)生的序列，隨著初始值的微小變化，將具有非常大的差異性。遍歷性和內(nèi)隨機(jī)性體現(xiàn)為混沌系統(tǒng)生成的序列分布是離散的。混沌系統(tǒng)的性質(zhì)十分適合加密領(lǐng)域，并且具有很好的適用性和安全性。因此，現(xiàn)今的加密技術(shù)主要以混沌系統(tǒng)作為主要研究方向之一。目前數(shù)字圖像加密所用的混沌系統(tǒng)主要有：

(1)Logistic映射

是實(shí)際系統(tǒng)中存在的最簡單的非線性差分方程之一。這是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)在運(yùn)行過程中表現(xiàn)出混沌行為，因此在許多領(lǐng)域中都被研究和應(yīng)用，其公式如下：

其中λ稱為分枝參數(shù)，當(dāng)λ=2.8時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出存在兩個(gè)周期點(diǎn)；當(dāng)λ=1+根號(hào)6=3.4495時(shí)，出現(xiàn)四個(gè)周期點(diǎn)。隨著兄的逐漸增大，存在的周期點(diǎn)數(shù)也越來越多，并且頻率越來越高，直到達(dá)到極限值3.569 945 6--。當(dāng)3.569 945 6…<λ≤4時(shí)，映射處于混沌狀態(tài)，其產(chǎn)生的序列{xi}是非周期不收斂，隨著初始值的不同有著非常大的差異性。該系統(tǒng)初始狀態(tài)X1在(0，1)中隨機(jī)取值作為迭代初值，通過公式(1)對(duì)這個(gè)初始值進(jìn)行迭代，當(dāng)λ>3.569 945 672---時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。Logistic映射所構(gòu)建的密鑰序列具有良好的隨機(jī)性和初值敏感性。

(2) Chebychev混沌序列

以K為映射基數(shù)的Chebychev公式如下：

當(dāng)k=6時(shí)，方程處于混沌狀態(tài)，所產(chǎn)生的序列{Xn}為混沌序列。系統(tǒng)在空間的相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率(Lyapunov)為1.791 733---。通過Chebychev多項(xiàng)式的混沌映射構(gòu)建了加密質(zhì)量控制模型，并進(jìn)一步構(gòu)造了圖像小波域加密算法。該方法簡單易行，兼容性高，但在透明性與運(yùn)算時(shí)間上難以取得較好的平衡點(diǎn)。

(3)正弦映射

Sin方程在某種條件下亦可生成混沌序列，公式如下：

當(dāng)λ=0.99時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，將初始值XI帶入，可獲得序列{Xn}。序列{Xn}中的元素值呈混沌分布且離散。由于正弦方程較為簡單，其運(yùn)算速度很快，但易被破解，往往需要與其他算法相結(jié)合才能達(dá)到一定的安全性。如利用正弦混沌映射和Logistic映射相結(jié)合對(duì)圖像進(jìn)行加密的方法，但在傳輸及還原過程中容易造成一定的圖像損失。

本文加密算法通過引入數(shù)論中的黑洞數(shù)，根據(jù)其數(shù)學(xué)特征產(chǎn)生具有一定混沌特性的短序列，結(jié)合Logistic映射將圖像進(jìn)行加密。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法簡單有效，加密后的圖像具有很好的混沌特征，而且計(jì)算速度快、安全性高。

二、黑洞數(shù)以及其性質(zhì)

黑洞數(shù)問題是近幾十年內(nèi)出現(xiàn)的有趣數(shù)學(xué)問題，引起了國內(nèi)外數(shù)學(xué)界的廣泛注意和研究。數(shù)論中對(duì)于黑洞數(shù)定義為：在含有未知數(shù)變量x的代數(shù)式y(tǒng)=f(x)中，當(dāng)變量x任意取值時(shí)，其應(yīng)變量y都不改變，此時(shí)稱應(yīng)變量y為黑洞數(shù)（數(shù)組）。本文主要在重排求差黑洞數(shù)的基礎(chǔ)上介紹產(chǎn)生偽混沌序列的方法，并應(yīng)用于圖像文件加密。

重排求差方法：任意數(shù)字不完全重復(fù)的整數(shù)x（像33，555，7777等都應(yīng)該排除），經(jīng)有限“重排求差”操作，總會(huì)得某一個(gè)或一組黑洞數(shù)y。重排x得到的最大數(shù)減去重排x得到的最小數(shù)，不斷循環(huán)此過程，直到落入循環(huán)，此循環(huán)內(nèi)的數(shù)稱為黑洞數(shù)（數(shù)組）。下表中列出部分?jǐn)?shù)字重排求差流程及結(jié)果。

通過數(shù)學(xué)論證，證明了黑洞數(shù)具有3個(gè)性質(zhì)：

1）黑洞數(shù)一定能被9整除；

2）奇數(shù)黑洞數(shù)(位數(shù)≥3)定能被99整除，且中間位數(shù)字為9；

3）任意黑洞數(shù)，其首末位的數(shù)字和為10，或者和為9且中間的所有位數(shù)皆為9。

本文作者在此基礎(chǔ)上作了大量的數(shù)據(jù)分析研究，發(fā)現(xiàn)了更多的規(guī)律。

規(guī)律1

1)任意位數(shù)為偶數(shù)（大于2）的黑洞數(shù)定能被9整除，首末位數(shù)字的和為10，如：表1中x =851 742和x=860832的黑洞數(shù)組；

2)任意位數(shù)為奇數(shù)（大于2）的黑洞數(shù)定能被99整除，且中間數(shù)字為9。如：表1中z -82 962和x=8429652黑洞數(shù)組；

3)對(duì)于任意黑洞數(shù)必定首末位和為10或者9，和為9時(shí)所有中間位數(shù)必定都為9。如：黑洞數(shù)495。

為了敘述簡便，本文加入了邊的概念：

定義：當(dāng)一個(gè)數(shù)滿足規(guī)律1中黑洞數(shù)性質(zhì)時(shí)，則認(rèn)為此數(shù)字在落入黑洞數(shù)的邊上或者黑洞數(shù)中。

規(guī)律2：當(dāng)一個(gè)數(shù)落入黑洞數(shù)的邊上或者黑洞數(shù)中，通過對(duì)此數(shù)字的重排求差運(yùn)算，很快能得到此數(shù)字產(chǎn)生的所有黑洞數(shù)。如：表中6619974為首末位為10的非黑洞數(shù)，符合規(guī)律1條件，只需2次重排求差計(jì)算就落入黑洞數(shù)。

規(guī)律3：對(duì)于任意數(shù)字x，在重排求差運(yùn)算至第二次落入黑洞數(shù)前，運(yùn)算過程中所得到的數(shù)字序列中所有數(shù)字都只出現(xiàn)一次。不同的數(shù)字間，在落入黑洞數(shù)的邊之前，所得數(shù)字集合必定不同。如：表1中的所有初始數(shù)字，其取落入黑洞數(shù)的邊之前的數(shù)字均不相同。

黑洞數(shù)的性質(zhì)與規(guī)律，表明了對(duì)任意數(shù)字，其重排求差運(yùn)算過程中直到第二次落入黑洞數(shù)前，得到的數(shù)字是無序、離散、無重復(fù)項(xiàng)的混沌序列。隨著不同的初始值，運(yùn)算所得的數(shù)據(jù)具有很大的差異性。對(duì)于位數(shù)較低的x，其黑洞數(shù)相對(duì)較少，長度較短，無法取得足夠長度的混沌序列，并且黑洞數(shù)邊上的數(shù)字具有快速落入黑洞數(shù)的特性。因此，本文算法為提高安全性，由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成長度超過10位的初始值x，然后將x代入黑洞數(shù)發(fā)生器取得偽混沌的運(yùn)算軌跡序列，最后將偽混沌序列遞入logistic算法產(chǎn)生足夠長的混沌序列對(duì)圖像置亂加密。

三、基于黑洞數(shù)序列和Logistic的圖像加密算法

本文算法通過黑洞數(shù)發(fā)生器生成具有混沌性質(zhì)的短密鑰流，將其作為Logistic算法的初始值，生成混沌密鑰流，截取與圖像相同長度的加密密鑰流。最后將歸一化的加密密鑰流與置亂后圖像做異或，得到混合加密圖像。算法包括3部分：

1）黑洞數(shù)發(fā)生器生成短混沌序列；

2）Logistic混沌加密；

3）圖像解密。流程圖如圖1所示：

1、黑洞數(shù)發(fā)生器生成偽混沌序列

由于圖像信息的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存格式與系統(tǒng)做運(yùn)算的格式不符，須先對(duì)圖像進(jìn)行歸一化操作才能再加密。將灰度圖像讀入后可得到一個(gè)M*N大小的二維矩陣I，其中各元素是范圍為0～255的整型數(shù)據(jù)。將I降維為一維圖像矩陣IM，其元素?cái)?shù)值是以1/256為階，范圍為[0，1]的Double型數(shù)據(jù)。圖像歸一化使得圖像像素之間的差異性降低，對(duì)加密的要求降低。

通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于初始值K，如果其位數(shù)越短，黑洞數(shù)發(fā)生器可計(jì)算的步驟越少，不足以產(chǎn)生足夠長的密鑰流，并且K直接在黑洞數(shù)邊或黑洞數(shù)上的幾率較大；當(dāng)K超過8位，大多隨機(jī)數(shù)可產(chǎn)生足夠長度的密鑰流，即使不同的K皆落在同一黑洞數(shù)（組）上，不同數(shù)字落入的黑洞數(shù)組的位置也極有可能不同，甚至落入不同的黑洞數(shù)（組）中。所以K的位數(shù)越高，安全性越高。本文認(rèn)為K位數(shù)超過10時(shí)最佳，在長度超過10的情況下，只要不是黑洞數(shù)中的數(shù)值，即使K與某個(gè)黑洞數(shù)的邊相鄰，發(fā)生器產(chǎn)生的序列也是非常安全的。

由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)位數(shù)大于10的初始數(shù)K，K中每個(gè)位的數(shù)字不能完全相同。為保證黑洞數(shù)發(fā)生器能取得盡可能長的偽混沌序列，先檢測(cè)K是否在黑洞數(shù)和黑洞數(shù)邊上。對(duì)于不符合要求的K，則由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器重新生成K。符合要求的K將作為提取密鑰反饋給用戶，然后將K作為黑洞數(shù)發(fā)生器的初始值代入，運(yùn)行黑洞數(shù)發(fā)生器并記錄每次運(yùn)算結(jié)果，直到運(yùn)算落入第二次循環(huán)時(shí)跳出。所記錄的數(shù)值即為偽混沌序列L，黑洞數(shù)發(fā)生器生成偽混沌序列操作完成。判斷黑洞數(shù)邊的公式流程如下：

步驟1 將密鑰K看作由n(n≥10)個(gè)一位數(shù)組成的數(shù)組K={ai，a2，…，an）。

步驟2判斷K是否在黑洞數(shù)或者黑洞數(shù)邊上：

(1)將K的首末位a1，an代入公式(4)，求首末位數(shù)字和，如果Adi值為o(1)則表示首末位和為10(9)；

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，將{a1，a2，…，an）代入公式(5)，判斷所得Ad2是否為整數(shù)；

(3)當(dāng)玎為奇數(shù)時(shí)，將{a1，a2，…，an）代入公式(6)，判斷Ad'2為是否為整數(shù)且Mi為O。

如果將K代入后并不滿足步驟2中的(1)和(2)或者(1)，(3)時(shí)，說明K為遠(yuǎn)離黑洞數(shù)的數(shù)字。此時(shí)K代入黑洞數(shù)發(fā)生器中得到的偽混沌序列更長，不同K得到的偽混沌序列間的差異性更大。

黑洞數(shù)發(fā)生器取得序列的程序段如下：

forj =1:30 %運(yùn)行黑洞數(shù)發(fā)生器30次

if length(K(j))～=length(K(I)） %判斷位數(shù)，如果發(fā)生器前一次取得數(shù)值如098等，則變?yōu)?80后參與運(yùn)算

adkeyO')=adkey(j)*lO^(length(adkey(j))-length(K(I)));

end

key(1)=K(j)； %賦值給中間變量

for i=l:len 將變量中各位數(shù)分離，如kn={a}轉(zhuǎn)換為K={a1，a2，…，an}

A(i)=fix(key(i)*10^(f_len));

key(i+l)=key(i)-A(i)*lO^(len-i);

end

B=sort(A,'descend'); %重新排序降序

B 1(1)=0；

for i=l:len %重新轉(zhuǎn)換，如{ai, a2，…，an}一>{a}

BI(I)=BI(l)+B(i)*lO^(len-i);

end

C=sort(A); %重新排序升序

Cl(1)=O；

for i=l:len %重新轉(zhuǎn)換

CI(I)=CI(l)+C(i)*lO^(len-i);

end

K(j+I)=BI-CI; %將升序和降序排列做差，并記錄數(shù)值給下一級(jí)Kn+i

初值Ki通過時(shí)鐘密鑰key控制的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器取得，運(yùn)行黑洞數(shù)發(fā)生器，從記錄得到的K={K1，K2，…，K30}中，去除循環(huán)數(shù)部分，得到的K={Ki，K2，…，K}即為所求的偽混沌序列。

2、Logistic混沌加密

本文將偽混沌序列三中元素進(jìn)行歸一化，使序列三中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都符合logistic混沌算法的要求，然后將所有數(shù)據(jù)分別代入logistic公式，取得多組混沌序列，將其相連并根據(jù)圖像IM的大小截取相同長度，得到加密序列XL，將圖像像素加密。此方法的實(shí)現(xiàn)較為簡單，加密流程如下：

步驟1將L= (L1，L2，…，Ln)中數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化操作，先全部轉(zhuǎn)為0～1之間的double型數(shù)據(jù)，取8位有效數(shù)字，如3847243837+0.3847244，得到L’={L'1，L’2，…，L'n}。然后將L’n代入公式(7)變換，得到一組logistic參數(shù)λ，λ={λ1，λ2，…，λn）。

步驟2將L'和λ的元素按組（如L’1和λ）代入logistic公式(1)并做迭代。迭代次數(shù)i由公式(8)取得：

ceil為截尾取整，如果有小數(shù)則在取整后加1。將公式(1)迭代i次，記錄每次結(jié)果，去除前30個(gè)數(shù)據(jù)。代入所有的三和力可得到n組混沌密鑰流，根據(jù)圖像大小截取相同長度的密鑰流，合并為圖像加密矩陣X。

步驟3將混沌加密矩陣XL與圖像像素值做異或運(yùn)算生成加密圖像。異或公式見公式(9)：

步驟4將所得的置亂圖像I'M由一維矩陣轉(zhuǎn)換成二維矩陣，至此圖像I經(jīng)過混合加密得到加密圖像I'M，加密算法結(jié)束。

3、圖像解密

圖像解密的步驟與加密步驟類似，先將提取密鑰key帶入隨機(jī)數(shù)發(fā)生器取得K，將K和加密后的圖像I'M代入加密逆過程，把K作為初始值代入黑洞數(shù)發(fā)生器，產(chǎn)生偽混沌序列L，然后將偽混沌序列L’代入Logistic加密算法取得解密序列XL，將魁與圖像I'M做異或，提取解密圖像。

四、試驗(yàn)結(jié)果與結(jié)論

本文系統(tǒng)測(cè)試選擇的圖像為“上海SSPU”，像素?cái)?shù)大小為256x256，硬件測(cè)試環(huán)境為CPU 2.6GHz；內(nèi)存512MB;軟件環(huán)境為wINDOWS-XP, MATLAB 7.9.0。測(cè)試結(jié)果見表2。

選擇輸入的時(shí)鐘密鑰為20，分別對(duì)圖像進(jìn)行了加密及置亂，解密效果顯示：無論是先加密后置亂，還是先置亂后加密，加密后的圖像都有著較高的安全性。仿真結(jié)果表明，該算法運(yùn)算速度較快，具有較高的抗攻擊和抗干擾能力，有一定的實(shí)用性。

測(cè)試結(jié)果表明，黑洞數(shù)發(fā)生器足以產(chǎn)生一定長度的密鑰流，結(jié)合Logistic進(jìn)行混沌加密的圖像能夠達(dá)到很好的加密效果，具有很高的安全性，隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)x的位數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間的影響較小，總體的運(yùn)算時(shí)間極少。

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