本文將空間變換的思想運(yùn)用到數(shù)字圖像文件加密中，證明了小波包分解對(duì)圖像加密的可行性。分析小波包分解固有性質(zhì)和現(xiàn)象對(duì)加密的影響，指出該算法對(duì)傳統(tǒng)密圖攻克原理的抗破譯性，為圖像文件加密提供了一個(gè)新的方案。

一、空間變換用于圖像文件加密

空間變換的思想源于人類對(duì)客觀事物的描述在現(xiàn)實(shí)世界中對(duì)任何事物的任意一種描述都有一個(gè)具體的空間體作為描述值有意義的前提條件，空間變換就是在不同空間的描述值之間形成一個(gè)映射關(guān)系，使得對(duì)同一事物的描述可以在不同的域內(nèi)予以分析處理。如果將描述值脫離了具體的描述空間，人們一般無法從描述值中獲取關(guān)于被描述對(duì)像的任何有用信息。

數(shù)字圖像文件加密要求將一幅明圖圖像經(jīng)過某個(gè)加密算子的作用，變?yōu)榭蓚鬏數(shù)拿軋D圖像，接收方通過密鑰將密圖圖像再經(jīng)過解密算子的作用，還原為明圖圖像；當(dāng)在傳輸過程中密圖圖像被竊取，沒有密鑰，解密將很難或根本無法完成，將數(shù)字圖像看作為信號(hào)，利用數(shù)字信號(hào)空間變換的方法，定義一個(gè)數(shù)據(jù)變換分析空間和原始信號(hào)空間到分析空間的映射關(guān)系，將此映射關(guān)系中的參數(shù)看作為密鑰，可以利用空間變換的思想完成圖像加密與解密，即存在兩個(gè)能量有限空間H(n)、τ（η）∈L2( R)及映射關(guān)系{Ψk|H(n)→τ(θ)}，其中H(n)、τ(θ)分別為明圖、密圖圖像所在空間，密鑰選取為映射關(guān)系中的參數(shù)K。事實(shí)上這種加密思想與擴(kuò)散和混淆函數(shù)的構(gòu)造思想同出一轍，擴(kuò)散是指將每一位明文的影響擴(kuò)散到多個(gè)輸出的密文中，混淆是指使明文和密文的統(tǒng)計(jì)特性間的關(guān)系復(fù)雜化，可統(tǒng)一表達(dá)為：fk(.)M→C，其中M為明文，C為密文。在空間變換加密中僅是將M與C放到不同空間中，如果將k令為是一個(gè)密碼置亂表，M和C均在同一空間中，則本算法就退化為傳統(tǒng)的置亂加密，根據(jù)加密學(xué)基本原理，任意一種變換關(guān)系Ψk(.)能夠完成對(duì)圖像的加密工作，需滿足條件：

(1)映射關(guān)系足夠多，即Ψk(.)所在的空間Ψ(Ψk)中有足夠多的元素k——密鑰空間足夠大；

(2)映射與映射之間稍不匹配，映射和反映射后的信息將產(chǎn)生很大的變化，即H(n)→τ（θ）和τ（θ）→H(n)對(duì)k敏感；

(3)利用映射數(shù)據(jù)反推映射關(guān)系和原始數(shù)據(jù)是困難的，即τ（θ）→H(n)不可行；

(4)加密算法具有一定的抗干擾魯棒性，其中條件(l)是加密的基本條件l條件(2)2是基于對(duì)擴(kuò)散與混淆的考慮；條件(3)是需求加密算法具有單向陷門函數(shù)的性質(zhì)，抗破譯能力較強(qiáng)；條件(4)是對(duì)信道干擾的考慮．從下一節(jié)的分析中可以看出，小波包分析為我們提供了一個(gè)非常好的密鑰空間，利用小波包分解對(duì)數(shù)字圖像加密是可行的。

二、小波包分解用于數(shù)字圖像加密的可行性

從數(shù)學(xué)調(diào)和分析的角度，傅里葉變換、DCT變換、小波變換以及RidgeletscsJ等均是在信號(hào)分析空間中找到一組基并將信號(hào)在該組基上投影，將原始信號(hào)表示為投影系數(shù)在這組基上的線性組合，對(duì)一個(gè)信號(hào)的小波包分解就是將原信號(hào)在小波包空間中的展開，分解系數(shù)就是信號(hào)在小波包空間基上的投影。將小波包分解技術(shù)和空間變換的思想應(yīng)用到數(shù)字圖像加密算法中，可以發(fā)現(xiàn)它不但可行，而且還具有很多優(yōu)良性質(zhì)，為數(shù)字圖像加密技術(shù)提供了一個(gè)新方案。

定理：在數(shù)字圖像加密中，以小波包映射關(guān)系作為加密算法，小波系數(shù)組作為密鑰，是可行的。

證明：此定理保證了以小波包映射關(guān)系作為數(shù)字圖像加密算法是可行性的，同時(shí)從小波包分解——重構(gòu)理論知這種加密算法對(duì)圖像基本沒有損耗，即解密圖等于原圖像。

1、頻帶混序、混迭現(xiàn)象及能量泄漏對(duì)加密的作用分析

小波包分析中隨著分解級(jí)數(shù)增加到一定程度，將會(huì)產(chǎn)生頻帶混序與混迭現(xiàn)象，這是由小波包分解中隔點(diǎn)采樣造成。每次分解都是對(duì)上一次分解結(jié)果進(jìn)行采樣，使采樣頻率降低一半，當(dāng)采樣頻率低于奈奎斯持頻率時(shí)，發(fā)生頻率折迭，對(duì)已發(fā)生頻率折迭的序列再進(jìn)行分解時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生頻帶交錯(cuò)。頻帶混序和混迭現(xiàn)象有利于對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行加密，小波包分解總體上是將原圖像信息按不同尺寸和頻率進(jìn)行的分解，但當(dāng)混序和混迭現(xiàn)象發(fā)生以后，分解級(jí)數(shù)每增大一級(jí)，分解后的頻率分布將全局受到影響，從而變得異常復(fù)雜，甚至沒有規(guī)律可循。這說明圖像的高級(jí)小波包分解系數(shù)，頻率分布變得混亂，頻率折迭和交錯(cuò)產(chǎn)生了許多偽頻率段與真實(shí)頻率段進(jìn)行交混，而且相互之間受到約束，頻率混序和混迭現(xiàn)象使得傳統(tǒng)的基于頻率分布分析的密圖攻克法失效，這對(duì)數(shù)字圖像加密是有利的。

小波包變換是一種等能量變換，不會(huì)發(fā)生能量的損耗，但能量會(huì)在各個(gè)子帶間進(jìn)行遷移，稱之為能量泄漏。能量泄漏的根本原因在于h（n）和g(n)始終不是理想濾波器，某一頻率的能量經(jīng)過h（n）或g(n)后，會(huì)向其它頻率段泄漏，能量泄漏的主要地點(diǎn)發(fā)生在頻率的分割邊緣處。對(duì)數(shù)字圖像進(jìn)行小波包分解，必然會(huì)出現(xiàn)能量泄漏，即圖像能量在不同頻帶之間進(jìn)行了疊加，這對(duì)加密而言是有利的．當(dāng)小波母函數(shù)對(duì)應(yīng)的h（n）和g(n)能量泄漏比較大，并進(jìn)行多級(jí)小波包分解時(shí)，將出現(xiàn)圖像能量較大范圍遷移，即原始圖像的能量分布在加密圖像之中得以較好地隱藏，傳統(tǒng)的基于能量分析的密圖攻克法將失效，這有利于圖像文件加密。

2、小波包分解系數(shù)相關(guān)性及分解級(jí)數(shù)對(duì)加密的作用分析

在小波包分解空間中，對(duì)數(shù)字圖像的分解實(shí)質(zhì)是將圖像在各個(gè)子波上進(jìn)行投影，各級(jí)小波包分解系數(shù)均是在不同尺度上按頻率段對(duì)原圖像的近似，它們之間必然存在一定的相似性．小波變換還是一種很好的正交（或雙正交）變換，圖像信號(hào)在空域的冗余在小波域得到一定的解除。事實(shí)上對(duì)空域冗余的解除是從圖像編碼的角度進(jìn)行描述的，加密不同于編碼，所傳輸數(shù)字圖像的小波包分解系數(shù)個(gè)數(shù)恒定，在這種情況下冗余只能在系數(shù)組中進(jìn)行傳遞而并不能解除！原因很簡(jiǎn)單，一幅數(shù)字圖像固定，它所包含的信息量不變，同時(shí)小波包分解并沒有改變表示這些信息量所需的系數(shù)的個(gè)數(shù)，所以就加密而言，冗余僅是進(jìn)行了傳遞，大小并沒有改變。小波包分解的這個(gè)性質(zhì)可以理解為圖形信息并不是平均地分布在小波包分解系數(shù)組中，同時(shí)分解系數(shù)間又存有制約關(guān)系，這恰巧就是一個(gè)非常好的混淆操作。這使得傳統(tǒng)基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的密圖破譯方法失效，同時(shí)對(duì)空間子域分割逐塊分析的破譯思想對(duì)信息在數(shù)據(jù)群中的不等量分布和相互存有制約的數(shù)據(jù)的分析是無效的，小波包分解系數(shù)間的相關(guān)性提高了加密圖像的抗破譯能力。

在Mallat算法中Vo尺度上的小波包系數(shù)直接令為是圖像點(diǎn)的像素值，小波包分解歹尺度空間Vj是在j尺度上對(duì)原圖像的時(shí)頻分割，當(dāng)j取值較小時(shí)，j尺度中的低頻系數(shù)組所包含的能量比較大，依舊可以反映出原圖像的大致信息，但當(dāng)j取值較大時(shí)，對(duì)M通帶算法，分解空間中的子節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)將以M2j的速率遞增，同時(shí)每個(gè)子節(jié)點(diǎn)所包含的像素個(gè)數(shù)也以M2j的速率遞減.對(duì)歹進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜≈?，可以使得單個(gè)子節(jié)點(diǎn)中所包含的能量不足以大至反映出原始圖像具體信息，即使得通過利用各尺度分解系數(shù)間相似性解密無法進(jìn)行．理想情況下，小波包分解空間是無限維，但對(duì)于具體的數(shù)字圖像而言，因小波包分解中的不斷隔點(diǎn)抽樣，使得小波包分解級(jí)數(shù)受到一定限制，對(duì)m1×m2大小的數(shù)字圖像，所能夠進(jìn)行的最大分解級(jí)數(shù)為N=log2min (m1，m2)，實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)計(jì)算速度和保密度進(jìn)行折衷考慮，一般取為j=5～6即可。

3、小波包空間映射加密算法與已有圖像加密算法的比較

圖像文件加密本身是一個(gè)比較新的課題，已有較為成功的算法并不很多，用可視分存技術(shù)加密圖像實(shí)用性不強(qiáng)，算法的魯棒性差，即對(duì)第一節(jié)中的條件4滿足性不好，其根本原因在于解密圖需由分存圖完全匹配而得，噪音將使得匹配無效而無法解密?；诨煦缋碚摰膱D像加密技術(shù)利用混沌現(xiàn)象的初值高敏感特性獲得混沌序列，以此序列來覆蓋原圖像或進(jìn)行調(diào)制．實(shí)際使用中2個(gè)遠(yuǎn)程混沌系統(tǒng)的參數(shù)不可能完全匹配，采用數(shù)字方程迭代的方式計(jì)算量大大增加?；煦缤綄?duì)參數(shù)的敏感性不僅不意味著保密性，攻擊者反而可以利用這一特點(diǎn)，用參數(shù)自適應(yīng)同步控制的方法對(duì)混沌系統(tǒng)的參數(shù)（密鑰）進(jìn)行辨識(shí)，從而達(dá)到破解的目的．利用置亂表對(duì)圖像編碼置亂的加密方式比較簡(jiǎn)單也最為常見，但對(duì)圖像的冗余沒有進(jìn)行處理．圖像的冗余是非常大的，人們經(jīng)?？梢詢H看到少半張圖片或跫僅看到幾條大致的曲線就能了解其大體內(nèi)容，沒有對(duì)圖像的冗余進(jìn)行處理的置亂算法基本上是無法抵抗越來越發(fā)達(dá)的各種統(tǒng)計(jì)破譯方法。

小波包空間映射加密算法，對(duì)密圖傳輸中的噪音不敏感，魯棒性較好（見本文實(shí)驗(yàn)四）；密鑰簡(jiǎn)單，僅為一個(gè)向量；對(duì)圖像的空間冗余、頻率分布、能量分布均具有較好地隱藏。一方面以其自身所擁有的優(yōu)良性質(zhì)，使得已有的常見破譯手法顯得無能為力，另一方面也同任何新生加密算法一樣需要經(jīng)過破譯實(shí)踐的考驗(yàn)。

三、小波包分解用于數(shù)字圖像加密算法

小波包分解用于數(shù)字圖像加密是可行的，以小波系數(shù)組七作為密鑰，相當(dāng)于確立了一個(gè)小波空間，將圖像以小波空間中展開，就完成了加密過程，重構(gòu)即為解密。對(duì)一幅數(shù)字圖像進(jìn)行加密，密鑰七選取為自己定義的一個(gè)小波母函數(shù)，實(shí)際中僅為一個(gè)重構(gòu)濾波器系數(shù)組。例如用Daubechies4小波對(duì)圖像進(jìn)行加密，解密密鑰k為一個(gè)1×8向量：[0.2304 0．7148 0.6309 -0.0280 -0.1870 0.0308 0.0329 -0.0106]。直接采用小波包分解公式對(duì)圖像進(jìn)行分解：

將小波包分解系數(shù)作為密圖文件進(jìn)行傳輸，接收方根據(jù)密鑰利用小波包重構(gòu)公式：

進(jìn)行圖像還原，由第二節(jié)的分析可知分解級(jí)數(shù)對(duì)加密性能有一定的影響，實(shí)際使用中從加密的快速性和保密度兩方面折衷考慮，一般取為j=5～6即可。

四、實(shí)驗(yàn)與分析

試驗(yàn)一：加密圖像必須滿足利用密鑰可以解密的要求，選取圖像加密中經(jīng)常遇到的人物、景物和文本圖像各一張，分別采用Daubechies4、Biorthgo-na13.5和Symlets6小波對(duì)三幅圖像分別進(jìn)行5級(jí)小波包分解加密、解密試驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)二：加密圖像必須滿足利用不正確的密鑰無法進(jìn)行解密的性質(zhì)，利用不同小波母函數(shù)對(duì)密圖進(jìn)行破譯試驗(yàn)。用Daubechies4對(duì)圖像文件進(jìn)行加密，選取haar和coifletl小波母函數(shù)，從小波母函數(shù)對(duì)應(yīng)濾波器長(zhǎng)度是否相等考慮，選取Biorthgona13.3和Symlets4小波母函數(shù)，從小波母函數(shù)自身相似性考慮，選取Daubechies3、 Daubechies5和Daubechiesio小波母函數(shù)進(jìn)行解密。結(jié)果如圖2所示。

實(shí)驗(yàn)三：加密圖像必須滿足利用不正確的密鑰無法進(jìn)行解密的性質(zhì)，在密鑰空間中對(duì)數(shù)字向量進(jìn)行窮舉破譯實(shí)驗(yàn)，用Daubechies4對(duì)圖像文件進(jìn)行加密，對(duì)密鑰進(jìn)行修改并進(jìn)行解密試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，密鑰是N維向量，其中圖3-1是對(duì)密鑰整體加上參數(shù)k，即：h'=h+k，慕中k分別等于：0.0，0.01，0.015，0.02；圖3-2是對(duì)密鑰中的某單獨(dú)一個(gè)分量加上參數(shù)志，圖中取為對(duì)第4個(gè)分量修改，即h'(4)=h(4)+k，其中k分別等于：0.O，0. 05，0.1，0.2。

實(shí)驗(yàn)四：傳輸干擾對(duì)解密的影響，在傳輸密圖中加入加性和乘性噪音，再對(duì)其進(jìn)行解密，試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。圖4-1是在密圖中混入加性噪音再進(jìn)行解密，即M'=M+k．ξ，ξ為在M的最大值和最小值之間均勻分布的隨機(jī)噪音，其中k分別等于；0.01，0. 02，0.03，0.04，圖4-2a是在密圖中混入乘性噪音，即M=(1+f)M，f是o均值，az方差的均勻分布隨機(jī)噪音，其中a分別為：0.3，0.5，0.7，0.8。作為對(duì)比，原圖像混入a-0.3的乘性噪音結(jié)果如圖4-2b所示。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：從實(shí)驗(yàn)一可以看到，明圖信息在密圖中得以較好隱藏，利用密鑰解密的解密圖與明圖基本完全一致，完全滿足了解密圖可識(shí)別的要求，由實(shí)驗(yàn)二可以看到，利用其他的映射關(guān)系解密是行不通的，即便是濾波器長(zhǎng)度選取的相同或者小波母函數(shù)屬于同一個(gè)函數(shù)系，參數(shù)相差也很小，但解密后的圖像仍不能反映出原始圖的大致信息．由實(shí)驗(yàn)四可知，小波包分解加密算法具有一定的抗干擾性，對(duì)傳輸信道中的噪音干擾具有一定的魯棒性。由實(shí)驗(yàn)三可以看到，在N維的密鑰空間中進(jìn)行窮舉解密是根本行不通的。在N維密鑰空間中進(jìn)行窮舉解密時(shí)，密鑰向量的長(zhǎng)度N本身就未知，并且由圖3—2可知每一維的窮舉步長(zhǎng)不可能大于0.1（考慮向量各分量同時(shí)搜索，由圖3-1知，實(shí)際中不能大于0.02)。在[-1，1]的密鑰、定義域中每一維至少需搜索20次，當(dāng)N的取值為30的時(shí)候，窮舉法所需的搜索20次，當(dāng)N的取值為30的時(shí)候，窮舉法所需的搜索次數(shù)為約1.13×1039次。假定用1000萬臺(tái)每秒鐘可以對(duì)256×256的數(shù)字圖像進(jìn)行5級(jí)小波包重構(gòu)10000次（約每秒進(jìn)行1. 17×10'G次加乘運(yùn)算）的計(jì)算機(jī)同時(shí)解密，需要3.17×1021年可以將其破解。

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