為有效保護(hù)數(shù)字圖像的安全，我們提出一種基于小波展開(kāi)函數(shù)與超混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法。這種圖像加密算法利用小波展開(kāi)函數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行置亂通過(guò)超混沌系統(tǒng)擾亂原圖像與加密圖像文件之間的關(guān)系。

一、小波展開(kāi)函數(shù)與超混沌系統(tǒng)

1、小波函數(shù)的展開(kāi)

一個(gè)小波函數(shù)：

改變常系數(shù)k，系統(tǒng)的混沌特性就發(fā)生改變，隨著k的增加，逐漸出現(xiàn)很多分岔，當(dāng)k=1.25時(shí)，u在-0.5鄰域內(nèi)變化的時(shí)候出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。它的（u,y）分岔圖與其他函數(shù)的迭代分岔圖有很大的區(qū)別，隨著u的增加，會(huì)出現(xiàn)1周期到2冪周期再到混沌，然后又從混沌中走出到2冪周期最后到1周期，中間出現(xiàn)了一些明顯的奇數(shù)周期，正分岔與逆分岔完整地結(jié)合。

將式(1)中的小波函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)后再經(jīng)過(guò)改進(jìn)，得到如下多項(xiàng)式函數(shù)式：

其中， 0.5<d<1.5； -1<c<0；k>1.28； 一1<μ<0；p為正有理數(shù)；floop(p)表示小于p的最大整數(shù)。

式(2)的多項(xiàng)式函數(shù)中具有5個(gè)參數(shù)，在上述給定的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，存在大量的混沌區(qū)域，由于這些區(qū)間基本上接近，這樣給進(jìn)行搜索可用參數(shù)的程序設(shè)計(jì)提供了方便。

事實(shí)上，多項(xiàng)式函數(shù)有很多是混沌的。另外，容易證明，單位區(qū)域上的曲線(xiàn)只要滿(mǎn)足一定條件就是Li-Yorke混沌或者Devaney混沌，而參數(shù)的小幅度變化并沒(méi)有更多的改變曲線(xiàn)的位置與形狀，式(2)正是利用這些理論而構(gòu)造的。

2、超混沌系統(tǒng)的四階Runge-Kutta公式

在提出的加密方案中，一種新的超混沌系統(tǒng)從Chen混沌系統(tǒng)演變而來(lái)。超混沌Chen系統(tǒng)是四維混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程式如下：

在式(3)中，當(dāng)a=36，b=3，c=28，d=-16，-0.7≤k≤0.7時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。當(dāng)k= 0.2時(shí)，系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)為λ1= -12.573，λ2 =0，λ3=0.023，λ4 =1.522，超混沌系統(tǒng)有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，擁有更為復(fù)雜的行為，隨機(jī)性更強(qiáng)，因此，將超混沌系統(tǒng)用于圖像加密，能大幅度提升系統(tǒng)的抗破譯能力。

在構(gòu)造混沌序列時(shí)使用四階Runge-Kutta公式，在該式的中間過(guò)程插入?yún)?shù)，如式(4)所示：

由于式(3)包含4個(gè)表達(dá)式，因此K1，K2，K3，K4，Xn，Yn，Yn+1，P1，P2，P3，P4都含有4個(gè)元素（P1，P2，P3，P4是后加入到Runge-Kutta公式中的），共計(jì)16個(gè)元素。

研究表明，一個(gè)混沌系統(tǒng)多數(shù)是在其混沌狀態(tài)的某些參數(shù)區(qū)間內(nèi)逐漸向非混沌過(guò)渡，這就為混沌加密提供了一定的密鑰空間，而在四階Runge-Kutta公式中插入的這些參數(shù)也都可以擴(kuò)大密鑰空間。實(shí)驗(yàn)分析表明這種插入?yún)?shù)的方法是可行的。在眾多的參數(shù)空間中，其超混沌特性（即有2個(gè)正的Lyapunov指數(shù)）不變。

由于步長(zhǎng)h很小，因此加在每個(gè)表達(dá)式上的參數(shù)p經(jīng)過(guò)計(jì)算后變得很小，這樣就相當(dāng)于每一個(gè)曲面（或者幾何體）向上或者向下作微小移動(dòng)，根據(jù)研究的結(jié)果，多數(shù)情形下變換后的系統(tǒng)還是混沌的，但由于改變了（常數(shù)）參數(shù)，在相同初始值與相同參數(shù)的情形下，其生成的混沌序列不同，這就相當(dāng)于擴(kuò)大了密鑰空間。

二、圖像文件加密方案

圖像文件加密過(guò)程包含2個(gè)部分：圖像像素置亂過(guò)程和圖像像素值的替換過(guò)程。

1、置亂過(guò)程

由于數(shù)字圖像相鄰的像素之間具有高度的相關(guān)性，為降低像素之間的相關(guān)性，采用小波函數(shù)展開(kāi)式(2)進(jìn)行迭代，產(chǎn)生混沌序列用來(lái)置換像素的位置。設(shè)原圖像P，大小為M×N，P(i，j)表示圖像的像素灰度值，i=1，2，L，M，j=l，2，L，N。

置亂過(guò)程描述如加密算法1所示。

加密算法1使用小波展開(kāi)函數(shù)置亂圖像的算法

（1）在初始化參數(shù)后，計(jì)算式(2)迭代序列的近似Lyapunov指數(shù)，如果Lyapunov指數(shù)小于0，更換參數(shù)，繼續(xù)步驟(1)，大于0，向下執(zhí)行程序。

（2）通過(guò)式(2)迭代得到混沌實(shí)值序列：

上述序列用于行變換；如果在這個(gè)混沌序列中不存在相同迭代點(diǎn)，就進(jìn)行步驟(3)，反之，則去掉序列中的相同元素（所謂相同，規(guī)定好差值小于一定數(shù)值，軟件的取舍精度也要有規(guī)定），繼續(xù)迭代，續(xù)加補(bǔ)夠M個(gè)元素（這樣會(huì)獲得較好的加密效果）。

（3）在步驟(1)所確定的初始化參數(shù)的鄰域內(nèi)更換新的初始化參數(shù)（是否重新計(jì)算近似Lyapunov指數(shù)根據(jù)具體情況決定），迭代得到序列（用于列變換），使用前2步的方法，得到?jīng)]有重復(fù)值的混沌實(shí)值序列：

（4）將式(5)實(shí)值混沌序列和式(6)實(shí)值混沌序列中元素由小到大排序，分別形成有序序列s1，S2，L，SM和k1，k2，L，kN。

（5）分別確定式(5)混沌序列和式(6)混沌序列中的每個(gè)m(i)和n(j)分別在有序序列s1，S2，L，SM和k1，k2，L，kN中的位置編號(hào)，形成置換地址集合T={t1，t2，L，tM）和P={p1，p2，L，pN}。

（2）按置換地址集合丁和P對(duì)原始圖像的像素進(jìn)行置換，得到置亂后的位置矩陣E(i，j)。

對(duì)原圖像文件完成置亂后，破壞了原像素的相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性，但是像素點(diǎn)的灰度并沒(méi)有改變，即圖像直方圖并沒(méi)有發(fā)生變化，圖像的加密效果不太理想叼因此，為提高圖像文件加密的效果，使用下節(jié)中的替換過(guò)程對(duì)置亂后的圖像的像素灰度進(jìn)行改變。

2、替換過(guò)程

使用超混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列對(duì)置亂后的圖像像素灰度值進(jìn)行加密。替換過(guò)程如加密算法2所示。

加密算法2使用超混沌系統(tǒng)（替換）加密圖像的算法

（1）把置亂后二維圖像矩陣E(i，j)轉(zhuǎn)化為一維序列A(i)，i=1，2，L，M×N。

（2）計(jì)算參數(shù)的混沌區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)給各個(gè)參數(shù)賦值，給定迭代初始值x1(0)，x2 (0)，x3(0)，x4(0)，超混沌陳系統(tǒng)(式(3))在四階龍格一庫(kù)塔法迭代式(式(4))作用下生成混沌序列
{x1(k)，x2(k)，x3(k)，x4(k)，k=1，2，L。對(duì)該混沌序列進(jìn)行如下預(yù)處理：

其中，Abs(xi)表示xi的絕對(duì)值；函數(shù)Floor(z)表示小于z的最小整數(shù)；mod(x，y)表示x對(duì)y取余。

（3）通過(guò)d=mod(d，4)，d∈[o，3]，超混沌系統(tǒng)參數(shù)x1，x2，x3，x4不同結(jié)合狀態(tài)如表1所示。

如果d等于序號(hào)組的序列，則選擇相應(yīng)的序列組執(zhí)行加密操作。例如d=1,則選擇(x1，x2，x3)用來(lái)進(jìn)行加密。用序列A(i)數(shù)據(jù)的3 Byte和狀態(tài)組數(shù)據(jù)的3 Byte做XOR(異或)操作。

通過(guò)以下公式進(jìn)行計(jì)算：

其中，i=1，2，…表示超混沌陳系統(tǒng)第f次迭代；+表示按位異或操作Bx1，Bx2，Bx3表示相應(yīng)狀態(tài)組的值；A表示置亂后序列A(i)，i=1,2，L，M×N。

（4）繼續(xù)上述操作，直到A={A1，A2，L，AM×N}中的所有像素值全部被加密為止。此時(shí)得到加密后像素集合為C={C1，C2，L，CM×N}，然后將其轉(zhuǎn)化為二維圖像形式，得到了加密圖像D(i，j)i=o，1，L，M一1，j=0，1，L，N-1。加密后的效果如圖1(b)所示。

解密過(guò)程基本與加密過(guò)程的算法相似，是加密的逆操作過(guò)程。應(yīng)首先由超Chen混沌系統(tǒng)進(jìn)行解密對(duì)應(yīng)于加密式(式(8))，解密所用的計(jì)算公式為：

將解密得到的序列么轉(zhuǎn)換成二維矩陣形式；再用小波展開(kāi)函數(shù)對(duì)解密矩陣進(jìn)行反置亂，即可得到最后的解密圖像，如圖1(d)所示。

三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果和安全性分析

1、密鑰敏感性測(cè)試

為驗(yàn)證上述算法的有效性，本文以256×256的lena.bmp圖像作實(shí)驗(yàn)測(cè)試圖像。在本算法中初始參數(shù)也作為密鑰。如果密鑰稍有微小變化，如修改參數(shù)k=1.300 000 000 000 08(原k為1.3)加密效果如圖1(c)所示，它與如圖1(b)加密效果不同。經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試加密后的2幅圖像中有99.06%的像素灰度值不相同。密鑰的微小變化導(dǎo)致密文幾乎完全不同，這就說(shuō)明密鑰的一點(diǎn)微小的變化將產(chǎn)生完全不同的加密效果，密鑰敏感性高，因此，可以抗差分攻擊。

比較加密前后圖像的直方圖，如圖2所示。可以看出，加密后圖像的直方圖與原始圖像的直方圖有很大的不同，并且非常均勻。變換后的直方圖呈均勻分布，它掩蓋了變換前分布規(guī)律，增加了破譯的難度。

2、相鄰像素的相關(guān)性分析

研究表明，圖像置亂效果的好壞，與相鄰像素相關(guān)性的大小存在反比關(guān)系：相關(guān)性越大，置亂效果越差；相關(guān)性越小，置亂的效果越好。為檢驗(yàn)原始圖像和密文圖像相鄰像素的相關(guān)性，從原圖像和加密圖像文件中隨機(jī)選取4 000對(duì)相鄰像素（水平、垂直或?qū)牵?，利用下式?jì)算其相鄰像素的相關(guān)系數(shù)：

其中，x和y分別表示圖像中相鄰2個(gè)像素的灰度；rxy為相鄰2個(gè)像素的相關(guān)系數(shù)。圖3展示了原始圖像和加密后圖像的2個(gè)垂直方向的相鄰像素的相關(guān)分布情況。

表2列出了加密前后各個(gè)方向的相關(guān)系數(shù)，可以看出，原始明文圖像的相鄰像素是高度相關(guān)的，相關(guān)系數(shù)接近于1，而加密圖像的相鄰像素相關(guān)系數(shù)比0還小，說(shuō)明相鄰像素不相關(guān)，明文的統(tǒng)計(jì)特性已被擴(kuò)散到隨機(jī)的密文中。

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