為了提高混沌通信系統(tǒng)的安全性能，在分段拋物映射的基礎(chǔ)上我們提出了一種利用復(fù)合序列的混沌加密方案。該加密方案通過隨機(jī)改變區(qū)間劃分，克服了現(xiàn)有混沌映射的局限性，提高了混沌序列的復(fù)雜度。

一、分段拋物映射

考慮一維自映射：

其中：μ∈(O，2]，xn∈[-1，1]．當(dāng)1.41<μ≤2時，該映射處于混沌狀態(tài)。將式(1)表述的映射進(jìn)行區(qū)間分段處理，可構(gòu)造另一種映射，定義 一維自映射稱為分段拋物映射，若滿足

其中：xn∈[-1，1]，μ∈（0.2]。任選一效s∈R稱為分段參數(shù)，滿足0<s<1，根據(jù)s建立區(qū)間分段點(diǎn)集{so =o，s1=s，s2=2s，…，sk=ka，…，sN=Ns，sN+1=1}，k=0，1，2，…，N，其中SN <1。

根據(jù)式(2)做出分段拋物映射的波形（圖1）和相圖（圖2、3），直觀考察混沌吸引子分布和分段點(diǎn)集的關(guān)系，由圖可知，分段點(diǎn)越密集，吸引子圖形間隔就越密集，混疊行為也必然更復(fù)雜。隨著吸引子圖形分段的增加，映射不動點(diǎn)數(shù)目相應(yīng)增加。

為進(jìn)一步深化對分段拋物映射的認(rèn)識，通過分岔圖來了解產(chǎn)生混沌的相關(guān)因素（圖4），從圖4中看出，與平方拋物映射相比，分段拋物映射產(chǎn)生混沌的參數(shù)范圍要寬得多，在μ接近0.25時進(jìn)入穩(wěn)定的混沌區(qū)，與平方拋物映射類似的是，該映射混沌狀態(tài)的發(fā)生也是通過逐步的分岔過程完成的，為使混沌序列在應(yīng)用時幅度不出現(xiàn)太大波動，參數(shù)μ不宜選擇過小。

衡量混沌特性優(yōu)劣的一個重要指標(biāo)是李亞普諾夫指數(shù)，根據(jù)定義：

其中：F為映射函數(shù)，即為式(2)表述的分段拋物映射，由此計(jì)算出的李亞普諾夫指數(shù)λ可以作為混沌態(tài)存在與否的判據(jù)。

分段拋物映射難以求出λ的解析解，可以利用數(shù)值方法求取n>200時的近似解。λ和參數(shù)μ、s密切相關(guān)，圖5—6為s一定時，λ和μ的關(guān)系曲線；而圖7～8為p一定時，λ和s的關(guān)系曲線。

由圖5～8可知，在參數(shù)μ和s的一定變化范圍內(nèi)，λ>0，此時分段拋物映射處于混沌態(tài)，分段拋物映射的李亞普諾夫指數(shù)的平均值遠(yuǎn)大于常見的平方拋物映射是因?yàn)榉侄螔佄镉成涞钠婀治酉鄬?fù)雜，拉伸收縮引起的混沌特性也相應(yīng)復(fù)雜。

從圖7～8中還可看出，分段參數(shù)s在相當(dāng)大范圍內(nèi)變化時，分段拋物映射都能保持混沌態(tài)，而一般拋物映射的參數(shù)無法做到，這意味著對s做動態(tài)調(diào)節(jié)，安全性改善的預(yù)期效果應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于調(diào)s節(jié)式(1)中的參數(shù)μ。

令式(2)中的參數(shù)μ=2，此時映射為滿映射。

容易驗(yàn)證，分段拋物滿映射與式(4)表示的分段線性映射為拓?fù)涔曹楆P(guān)系。

式中符號含義同式(2)。

二、基于分段拋物映射構(gòu)造復(fù)合序列

分段拋物映射是偶對稱自映射，區(qū)間分段參數(shù)s在(0，1)變化意味著在整個值域內(nèi)變化。分析發(fā)現(xiàn)，其變化對混沌分岔特性沒有顯著影響，將s改為動態(tài)參數(shù)意味著相空間在（-1，1）中均可以發(fā)生改變，用一維拋物映射來調(diào)控分段拋物映射的分段參數(shù)s，使其在(0，1)內(nèi)變化。同時，為迸一步增強(qiáng)加密序列的計(jì)算復(fù)雜度，對另一參數(shù)μ在適當(dāng)?shù)男》秶鷥?nèi)加以調(diào)控，使其也成為輔助性動態(tài)參數(shù)。

其中：yn為調(diào)控參數(shù)所用映射的狀態(tài)；ρ為參數(shù)；sn*、μn*為分段拋物映射受調(diào)參數(shù)。

其中，Sn*，k是按照Sn*，進(jìn)行區(qū)間分割所獲得的某個分割點(diǎn)，其余符號同前。

根據(jù)式(8)表述的復(fù)合序列{xn}，做xn+1-xn相圖，如圖9所示，可以看到，相網(wǎng)中不存在幾何形狀簡單明晰的吸引子，點(diǎn)分布幾乎充滿整個值域范圍，預(yù)示用其進(jìn)行信總加密將具有良好的安全性，難以用重構(gòu)預(yù)測方法破譯。

分段拋物映射具有和分段數(shù)目相對應(yīng)的不動點(diǎn)，不動點(diǎn)的具體數(shù)值也與分段點(diǎn)有關(guān)。假如直接利用分段拋物映射進(jìn)行加密，勢必給密鑰的選擇帶來很大麻煩，而采用動態(tài)分段參數(shù)，則不必顧忌這一問題。

三、文件加密效果

上述混沌復(fù)合序列可用于語音和圖像文件加密，加密密鑰可設(shè)為(Yo，ρ，X0)，圖像信息加密相對復(fù)雜一些，數(shù)字圖像數(shù)據(jù)量大，幾何相鄰的像素關(guān)聯(lián)性強(qiáng)，灰度量化特性對加密序列的隨機(jī)變化有所影響。因此圖像信息的加密方式和檢驗(yàn)有自己的特點(diǎn)。

采用二維可逆映射對需加密圖像做像素坐標(biāo)置亂的預(yù)處理，常用Arnold映射：

其中：需置亂圖像的像素個數(shù)為N×N，(xn，yn)和（xn+1，yn+1）分別為變換前后的像素坐標(biāo)；Arnold矩陣，取A=[1122]。

圖像文件加密的關(guān)鍵在于對像素灰度數(shù)值進(jìn)行加密處理。利用前面構(gòu)造的分段拋物映射復(fù)合序列對像素?cái)?shù)值加密。

整體加密方案如圖10所示。為分析加密效果，用256×256 BMP格式的Lena圖做仿真測試。圖11為復(fù)合序列圖像加密效果。通過加密，圖像細(xì)節(jié)被完全遮蓋，無法直觀認(rèn)知原圖信息，即便不經(jīng)過預(yù)處理，也有良好的加密效果．解密是加密的反過程，通過像素一一對照可知，圖11(c)的圖像在正確解密后得到了完好恢復(fù)。

圖12表示的是加密前后統(tǒng)計(jì)直方圖的變化。從圖中可以看出，加密后灰度分布比較均勻，能夠掩蓋原圖的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，說明該圖像加密方案可以有效抵御統(tǒng)計(jì)分析和已知密文攻擊。

對密鑰強(qiáng)度的測試如下：將密鑰之一yo由0.9更改為0.899~用其解密圖像，結(jié)果見圖13。由圖可知，即便有微小的密鑰數(shù)值差別，也不能正確解密原圖像，從所得結(jié)果中根本無法獲取有用信息。

灰度值并沒有增強(qiáng)；本文改進(jìn)的模型方法在迭代次數(shù)少于P-M方法的條件下，不僅均使背景平滑，而且使目標(biāo)相對灰度值提高，增強(qiáng)了弱目標(biāo)的邊緣。

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