為了應(yīng)對(duì)有限精度產(chǎn)生的混沌動(dòng)力學(xué)特性退化問(wèn)題，近年來(lái)有許多的改進(jìn)方案，為此，我們提出一種基于被擾動(dòng)的Lorenz系統(tǒng)的混沌加密算法。該加密算法能夠在保證加密速度的前提下，使得混沌序列隨機(jī)性、加密系統(tǒng)安全性等方面都優(yōu)于基于三維混沌密碼系統(tǒng)和基于聯(lián)合混沌加密系統(tǒng)。

一、基于被擾動(dòng)的Lorenz系統(tǒng)的混沌加密算法設(shè)計(jì)

1、對(duì)Lorenz系統(tǒng)參數(shù)的擾動(dòng)

Lorenz系統(tǒng)是一經(jīng)典的三維混沌系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

其中a、b、c是系統(tǒng)參數(shù)，該系統(tǒng)當(dāng)a=1O、b>24.74、c=8/3時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。然而在精度有限的計(jì)算機(jī)上模擬計(jì)算的過(guò)程中，當(dāng)?shù)螖?shù)較大時(shí)，z維上的數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)短周期的
現(xiàn)象，如圖1所示。

往介紹擾動(dòng)過(guò)程之前先引入Legendre多項(xiàng)式：

Legendre方程：

式（2），當(dāng)|x|<1時(shí)，可得到有界解，并且當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)，即n=0，1 ，2，3...時(shí)，在x=±1點(diǎn)亦有有界解。這種情況下，隨n值變化方程的解相應(yīng)變化（如圖2）。

構(gòu)成一組由正交多項(xiàng)式組成的多項(xiàng)式序列，即：Legendre多項(xiàng)式：

其遞增表達(dá)式由（3）式給出：

Legendre多項(xiàng)式產(chǎn)生具有自相關(guān)性和較高的線性復(fù)雜度性的，均值偽隨機(jī)序列，利用它來(lái)對(duì)混沌系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng)。提高了混沌序列的隨機(jī)性、復(fù)雜性。彌補(bǔ)了計(jì)算機(jī)等數(shù)字系統(tǒng)有限精度所帶來(lái)的不足，從而增強(qiáng)加密系統(tǒng)的安全性。

選取b作為擾動(dòng)的系統(tǒng)參數(shù)，具體擾動(dòng)過(guò)程如下：

1）選定初始值x0∈（-1，1），利用式（3）。通過(guò)迭代，得到一個(gè)序列：

2）將序列bm應(yīng)用到Lorenz系統(tǒng)的每一次迭代中，Lorenz系統(tǒng)在每一次迭代前，首先通過(guò)下面公式：

得到每一次迭代需要的b，從而擾動(dòng)了Lorenz系統(tǒng)中的系統(tǒng)參數(shù)b。

2、算法描述

本法選用的混沌系統(tǒng)為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)，首先利用Legendre多項(xiàng)式的遞推式（3）產(chǎn)生序列bm，將這個(gè)序列值分別作為L(zhǎng)oren系統(tǒng)（l）選代過(guò)程中系統(tǒng)參數(shù)b的改變值，Loren系統(tǒng)經(jīng)過(guò)特定次數(shù)的迭代以后得到最后所需的混沌序列。這個(gè)特定次數(shù)（除第一次外）是由上一次加密的密文和當(dāng)前的明文共同決定的，然后用混沌序列對(duì)原文信息進(jìn)行加密操作。從而隱藏原文。

3、加密過(guò)程

本文以一副圖像為例介紹具體加密過(guò)程。

似沒(méi)．我們要加密一個(gè)圖像文件P（N×M）。首先，將圖像P（N×M）從定到右、由上而下進(jìn)行掃描，將掃描到的數(shù)據(jù)放到P[N]中，具體加密方法如下：

1）將x0∈（-1，1）作為初始值代入（3）進(jìn)行遞推。遞推50次得到序列：

2）對(duì)第m，（m+1）和（m+2）個(gè)像素加密時(shí)，將x，y，z，a=10，b=bm．c=8/3作為式（1）的初始值進(jìn)行迭代，略去前500次迭代。以501次為起點(diǎn)繼續(xù)迭代特定次數(shù)得到（特定次數(shù)是由待加密像前兩個(gè)已加密的像索值決定）偽隨機(jī)序列：

迭代過(guò)程中，每迭代一次，將b值按（4）進(jìn)行變化，不斷的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行擾動(dòng)。

迭代完成后，分別將第m，（m+1）和（m+2）個(gè)像素值p（m），p（m+1和P（m+2）與某一個(gè)rij進(jìn)行異或操作得到密文c（m）和c（m+2）即：

其中，rij中i ，j的值由式（5）求的：

3）對(duì)圖像文件前三個(gè)像素值文件加密時(shí)，首先用x，y，x，a=10，b=b1．c=8/3作為初值進(jìn)行達(dá)代50次，由步驟2得到密文c（1）．c（2）和c（3）。然后按步驟2依次對(duì)圖像中的每個(gè)像素進(jìn)行操作，最后將整個(gè)文件操作完畢，最后可以得到加密后的密文圖像c。

4、解密過(guò)程

解密過(guò)程與加密過(guò)程相反，即：步驟2中提到的迭代的次數(shù)由前3個(gè)像素值決定。式（6）改為：

二、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用上述算法，Legendre多項(xiàng)式的初始值為x0=0.421518，Lorenz系統(tǒng)的初始值為x=1.184 07，y==1.362 86，z=1.25215和c=2.666 74。對(duì)256x256的lean圖（圖3（a））進(jìn)行加密，圖3（c）為加密后的結(jié)果。圖3（b）和（d）分別是待加密圖像和已加密圖像的直方圖。

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