目前常用的圖像置亂方法有Arnold變換、幻方變換、Tangram算法、Conway游戲、Gray碼變換等。Arnold變換算法簡單且具有周期性，所以在圖像信息隱藏方面得到了很好的應(yīng)用。下面我就給大家介紹一種基于改進(jìn)的Arnold變換和擴(kuò)展的多維Arnold變換并且加入了Logistic混沌映射的圖像加密算法。

一、關(guān)于Arnold變換

設(shè)有單位正方形上的點(diǎn)（x，y），將點(diǎn)（x，y）變到另一點(diǎn)（x′，y′）的變換為：

此變換稱作二維Arnold變換，簡稱Arnold變換。可見Arnold變換實(shí)際上是一種點(diǎn)的位置移動。

對于正方形數(shù)字圖像，我們可以把其表示成：

式中N是數(shù)字圖像矩陣的階數(shù)；Fxy表示坐標(biāo)為（x，y）的像素點(diǎn)的灰度值。將Arnold變換應(yīng)用在數(shù)字圖像上，可以通過像素點(diǎn)坐標(biāo)的改變而改變圖像灰度值的布局，把數(shù)字圖像看作一個(gè)矩陣，可由式（3）實(shí)現(xiàn)圖像像素點(diǎn)的置亂。

式中（x，y）是原圖像中像素點(diǎn)的位置坐標(biāo)；（x′，y′）是變換后該像素點(diǎn)對應(yīng)的位置坐標(biāo)。

對于二維平面上的位置變換來說，可以由上述的Arnold變換推廣出一類變換，滿足“位置移動”的要求。有專家證明了對于如下2×2的變換矩陣：，當(dāng)其元素滿足ad-bc=1時(shí)，它對平面坐標(biāo)的變換可作為一種置亂變換，所以可將Arnold變換推廣為：

式中參數(shù)a，b是正整數(shù)；N是數(shù)字圖像矩陣的階數(shù)。

另外還有專家將Arnold變換推廣到高維的情形，相應(yīng)的變換矩陣為：

對于矢量（x0，x1，…，xN-1）T，做如下變換（x′0，x′1，…，x′N-1）T=AN（x0，x1，…，xN-1）T，這就給定了一種在N維空間上離散網(wǎng)格點(diǎn)的移動方式。

二、圖像加密、解密算法

1、圖像加密算法

（1）位置置亂

首先產(chǎn)生Arnold變換的參數(shù)a，b值的序列，利用簡單的logistic混沌映射來實(shí)現(xiàn)。

Logistic映射的函數(shù)式如：

其中當(dāng)μ=4時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生的序列具有隨機(jī)性，遍歷性，對初值的敏感性，其范圍為（0，1）。以K1和K2為初值產(chǎn)生兩個(gè)混沌序列，其中K1和K2的范圍亦為（0，1）。對產(chǎn)生的兩個(gè)混沌實(shí)值序列均從第一百個(gè)實(shí)值開始取用，組成實(shí)值序列X1和X2。

對于實(shí)值XK（i）=0b1b2b3b4b5…序列YK由式（7）得到：

然后把Y1（i）和Y2（i）的值分別賦給參數(shù)ai和bi。

設(shè)方形圖像Fxy的大小為N×N，即x∈[1，N]，y∈[1，N]，利用式（9）對整個(gè)圖像做變換，變換迭代n1次所得圖像記為F′xy：

式中x和y分別表示原圖像矩陣像素點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；x′和y′分別表示圖像經(jīng)Arnold變換后圖像矩陣的像素點(diǎn)橫縱坐標(biāo)。

將圖像F′xy分為B×B塊，每塊有N2/B2個(gè)點(diǎn)。將最終加密的密圖F″xy分成N2/B2塊，每塊有B×B個(gè)點(diǎn)，使N2/B2μB2。圖像F′xy和位置置亂后圖像F″xy的分塊矩陣分別記為Block1和Block2，Block1可表示為：

其中（m1，m2）為圖像F′xy分塊矩陣的塊位置坐標(biāo)，取出F′xy的每個(gè)分塊，對其進(jìn)行n2次Arnold變換，每塊做變換所取的a，b值都是不同的，如式（11）所示。

式中x=1，2，…，N;y=1，2，…，N;x′=1，2，…，N/B;y′=1，2，…，N/B。然后將Block1中變換后的第一塊的像素點(diǎn)分布在Block2中每一塊的第一個(gè)位置上，將Block1中變換后的第二塊的像素點(diǎn)分布在Block2中每一塊的第二個(gè)位置上，依此類推，直到Block1最后一塊的所有像素點(diǎn)分布在Block2中每塊的最后一個(gè)位置上，該過程由式（12）實(shí)現(xiàn)。

式中（m1，m2）為圖像F′xy分塊矩陣的塊位置坐標(biāo)；x″，y″為加密后圖像F″xy的像素點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。至此完成了對圖像的位置置亂。

（2）灰度置亂

首先取出位置置亂后的圖像F″xy第一列像素點(diǎn)的灰度值，對其進(jìn)行N維Arnold變換，即

其中L是圖像的灰度級，將變換后的列向量放入到密圖D的最后一列上，然后取出圖像的第二列像素點(diǎn)的灰度值如上做N維的Arnold變換，將結(jié)果放入密圖的倒數(shù)第二列，依此類推，直到將圖像的最后一列變換后結(jié)果放入到密圖的第一列，至此完成了對圖像灰度值的一次列置亂?；叶戎档男兄脕y方法與此類似，首先取出列置亂后圖像D的第一行像素點(diǎn)的灰度值，對其轉(zhuǎn)置向量做如上Arnold變換，即：

然后將變換結(jié)果放入到密圖D′的最后一行，依此類推，直到將圖像的最后一行像素點(diǎn)的灰度值置亂變換后的結(jié)果放入到密圖D′的第一行，至此完成對圖像灰度值的一次行置亂。可以通過多次行和列的置亂迭代得到較好的加密圖像。對于擴(kuò)展的N維空間Arnold變換其周期計(jì)算要復(fù)雜得多，而且由于圖像不同行不同列可能的灰度值有不同的組合排列，這導(dǎo)致要恢復(fù)原始圖像需要完成的變換次數(shù)很大，而且難以確定，給破譯造成了困難。

（3）密鑰設(shè)計(jì)

本算法有3個(gè)密鑰，將產(chǎn)生混沌序列的初始值K1和K2作為密鑰，K1和K2的取值范圍為（0，1）。設(shè)K3是一個(gè)12位的十進(jìn)制數(shù)，如K3=12305678912表示n1=123，n2=056，n3=789，n4=123，即圖像位置置亂時(shí)整體變換迭代次數(shù)為123次，各分塊變換迭代次數(shù)為56次，圖像灰度置亂中行變換迭代次數(shù)為789次，列迭代次數(shù)為123次。

2、加密算法的步驟

設(shè)Fxy是一個(gè)N階的正方形圖像，其中x=1，2，3，…，N，y=1，2，3，…，N，則利用該算法對圖像Fxy進(jìn)行文件加密的具體步驟如下：

（1）利用logistic混沌映射產(chǎn)生Arnold變換矩陣的參數(shù)a，b的序列，對整個(gè)圖像做矩陣參數(shù)a=a0，b=b0的Arnold變換，并迭代n1次產(chǎn)生圖像F′xy；

（2）將圖像F′xy分成B×B塊，將位置置亂后的密圖F″xy分成N2/B2塊，每塊有B×B個(gè)點(diǎn)，取出圖像F′xy第一塊中的各像素點(diǎn)對應(yīng)放入矩陣partimage中，對圖像塊partimage做參數(shù)=a1，b=b1的Arnold變換，迭代n2次產(chǎn)生圖像塊lastpart，并將lastpart中的點(diǎn)依次放入密圖F″xy中每個(gè)圖像塊的第一個(gè)像素點(diǎn)的位置；

（3）取出圖像F′xy第二塊中的各像素點(diǎn)對應(yīng)放入矩陣partimage中，對partimage做矩陣參數(shù)a=a2，b=b2的Arnold變換，迭代n2次產(chǎn)生圖像塊lastpart，并將lastpart中的點(diǎn)依次放入密圖F″xy中每個(gè)圖像塊的第二個(gè)像素點(diǎn)的位置；

（4）重復(fù)步驟3的操作，直到將F′xy中最后一塊的所有像素點(diǎn)分布在F″xy中每塊的最后一個(gè)位置上，至此完成了圖像位置置亂過程，得到位置置亂密圖F″xy。

（5）對位置置亂后圖像F″xy做灰度值的列置亂迭代n3次，得到圖像D。然后對列置亂后圖像D做灰度值的行置亂迭代n4次。

解密算法與加密算法密鑰相同，利用Arnold變換的周期性，以及矩陣除法可實(shí)現(xiàn)圖像的解密。

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