為了設(shè)計(jì)復(fù)雜度高、安全性好而計(jì)算代價(jià)小的圖像密碼算法，我們從一類新的具有Markov分割性質(zhì)的混沌系統(tǒng)出發(fā)構(gòu)造了此算法。

一、混沌系統(tǒng)構(gòu)造

1、可Markov分割的混沌系統(tǒng)的特性

本文使用一種可Markov分割的混沌系，簡(jiǎn)單描述如下：選取參數(shù)p（p≥7）是素?cái)?shù)，將[0，1]區(qū)間p等分，構(gòu)造映射T(x，p，σ)如式(1)，其中σ∈Z+且2<σ≤p -1。

其平均Lyapunov指數(shù)為In（σ），其Markov分割為i1,i2，...，I，其中Ik=[(k - 1)/p,k/p]，σ=l,2，…，p。

此系統(tǒng)產(chǎn)生的序列有著比較好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：其極限分布為均勻分布，自相關(guān)函數(shù)近似為6函數(shù)，為一個(gè)理想的均勻偽隨機(jī)序列。而通過對(duì)其復(fù)雜度分析可知，通過參數(shù)調(diào)整它具有比Logistic映射和帳篷映射高得多的復(fù)雜度，其符號(hào)熵對(duì)比分析結(jié)果如圖1(a)所示。

2、隨機(jī)選取初始點(diǎn)(xo =1/23)迭代4096次實(shí)驗(yàn)，其均勻性和相關(guān)性如圖1(b)和圖1(c)所示。從圖1(b)可知，其累計(jì)分布函數(shù)類似一條直線，這意味著其概率密度函數(shù)近似于常數(shù)，即為均勻分布。通過Kolmogorov-Smirnov統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)得p值為pl_KS=0.9590，通過Chi-square擬合優(yōu)度檢驗(yàn)得p值為p1_CHI2=0.9597，可以認(rèn)為此系統(tǒng)產(chǎn)生的序列服從均勻分布。而對(duì)序列的相關(guān)分析如圖3(c)所示，其接近于一個(gè)6函數(shù)，為一個(gè)理想的偽隨機(jī)序列。

2、改進(jìn)時(shí)空混沌系統(tǒng)

低維的混沌系統(tǒng)因密鑰空間限制和相空間結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而可能產(chǎn)生安全漏洞，這可以利用時(shí)空混沌系統(tǒng)來(lái)解決，其中最常用的是耦合格子映射。一個(gè)K階的單向發(fā)展的耦合格子映射如式(2)，可掩蓋系統(tǒng)的相空間結(jié)構(gòu)，其常用于密碼系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，其結(jié)構(gòu)表示如式(2)。

邊緣條件滿足yn(K+1)=yn(1)，gn表示耦合格子映射的輸出，K表示系統(tǒng)耦合的階數(shù)，g表示為耦合軌道分配的權(quán)重函數(shù)，為基本的混沌系統(tǒng)，因其產(chǎn)生的序列非均勻分布，用于密碼設(shè)計(jì)不夠理想這里用上述的混沌系統(tǒng)T(x，p，σ)來(lái)代替。(yo(1)，y0(2)，…，y0(K))表示耦合格子系統(tǒng)的初始值，可用做混沌密碼系統(tǒng)的初始密鑰。

選取系統(tǒng)參數(shù)為k=6，權(quán)重ε=0.99初始值為(0.9/6, 1.9/6, 2.9/6, 3.9/6, 4.9/6, 5.9/6),迭代4096次后測(cè)試結(jié)果如圖2所示。通過耦合格子映射變換后的混沌系統(tǒng)的相空間如圖2(a)和圖2(b)所示已無(wú)規(guī)律可循，由圖中可以看出，原系統(tǒng)的相空間分布在邊緣位置較稠密而中間偏稀疏，而改進(jìn)后的系統(tǒng)其分布明顯好于原系統(tǒng)。然后，對(duì)改進(jìn)的系統(tǒng)測(cè)試其累積分布，與原系統(tǒng)的對(duì)比如圖2(c)和圖2(d)所示，可見改進(jìn)系統(tǒng)其累積分布更接近均勻分布，因而更適合用于密碼算法的設(shè)計(jì)。

二、圖像加密算法構(gòu)造

1、加密算法框架

1、算法框架

分析了上述加耦合格子映射的混沌系統(tǒng)性質(zhì)后，利用其產(chǎn)生的序列生成密鑰流，根據(jù)密鑰流生成動(dòng)態(tài)置亂矩陣，對(duì)圖像像素位置進(jìn)行置亂，然后利用迭代加密模塊對(duì)像素?cái)?shù)值進(jìn)行替換。該圖像密碼算法分為3個(gè)部分：密鑰生成算法，加密算法和解密算法。其加密過程如圖3所示。

2、密鑰流生成算法

步驟1 選擇混沌系統(tǒng)參數(shù)p（為素?cái)?shù)）和σ(sigma)，耦合格子系統(tǒng)階數(shù)K(dim)和耦合軌道分配的權(quán)重e。

步驟2 根據(jù)耦合格子系統(tǒng)階數(shù)K選擇迭代系統(tǒng)初始值為(XI，X2，xk)，密鑰為(xl，X2，…，Xk)，此處xt(t=1，…，K)僅表示與Xt(t=1，m，K)區(qū)別，無(wú)特殊意義。然后通過[0，1]上均勻分布的真隨機(jī)數(shù)RND(其生成方式已有不少擾動(dòng)密鑰，生成迭代初始值X=xi+RND(i=L 2，…，K)。引入真隨機(jī)數(shù)可達(dá)到一次一密的效果。迭代過程中產(chǎn)生的密鑰流需要量化為字節(jié)流kn= floor(gL×256)。

步驟3根據(jù)輸入的明文圖像尺寸S(M×N)生成密鑰流的長(zhǎng)度/-2×M×Ⅳ，記為向，砭，…，kL。其中KLi =(ki,k2，…，kLi(Pi,p：，…，p/i)(/i=M×Ⅳ-1)用于消除系統(tǒng)初始迭代時(shí)的震蕩和構(gòu)造置換矩陣，舍棄前16個(gè)數(shù)值，然后依次產(chǎn)生M個(gè)和N個(gè)不同的整數(shù)序列構(gòu)成兩個(gè)置換PM和PN廣將生成的置換矩陣記為P他(，)= PMoPN(J)。后半部分密鑰記為Kj:2 =(kLi+I，kLi+2，…，kL)=(kl，k2，…，kn)，直接用于加密圖像的迭代操作。

3、加密步驟

步驟1初始明文圖像記為J= (Iij)MxN，置換操作后的圖像為P= (Pij)M×Ⅳ=P(J)。將置換后的圖像記為數(shù)據(jù)流的形式即為(mi，7712，…，mt，…，m。)，其中mt=Pij，t=（i-1）×M+n，1<t<s。

步驟2將生成的數(shù)據(jù)流依次輸入兩輪迭代系統(tǒng)表示如式(3)和式(4)，經(jīng)過此兩輪操作后產(chǎn)生的密文為(Di，D2，…，Dt，…，Ds)。這里的CO為迭代系統(tǒng)的啟動(dòng)參數(shù)，它作為密鑰由密鑰文件提供。

4、解密步驟

該圖像密碼算法為對(duì)稱密碼算法，所用解密密鑰同加密密鑰一致，密鑰生成算法同上，此處真隨機(jī)數(shù)與加密過程所用保持一致。

5、密鑰文件

上述算法所用的密鑰文件如表所示，主要有4個(gè)部分構(gòu)成，混沌系統(tǒng)參數(shù)、耦合格子映射參數(shù)，加密系統(tǒng)啟動(dòng)參數(shù)和真隨機(jī)數(shù)。其中參數(shù)(p，sigma，dim，e)這4個(gè)參數(shù)變動(dòng)范圍比較小，密鑰空間的大小主要靠(XI，X2，…，Xdim)和RND來(lái)提高，以dim-6為例，在32位系統(tǒng)中，密鑰長(zhǎng)度即可達(dá)到192 bit，再加上產(chǎn)生的真隨機(jī)數(shù)C也是32 bit，系統(tǒng)的密鑰長(zhǎng)度可達(dá)224 bit。該圖像加密算法對(duì)密鑰的變化非常敏感，這可由后文的密鑰敏感性測(cè)試看出。系統(tǒng)密鑰文件的參數(shù)和功能如表1所示。

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