由于當(dāng)前的基于混沌映射的圖像加密算法存在瞬態(tài)效應(yīng)，且在像素擴散階段都沒有使用完整的隨機密碼序列，從而降低了加密系統(tǒng)的安全性，無法抵御各類明文與密文攻擊。對此，設(shè)計了一個完整的隨機密碼序列和新的雅克比橢圓映射，并定義了一個S盒變換規(guī)則；構(gòu)造了預(yù)混淆-混淆-擴散結(jié)構(gòu)，提出了一種基于S盒變換規(guī)則耦合雅克比橢圓混沌映射的圖像文件加密算法。

一、雅克比橢圓混沌映射

可將具有不變測度的雅克比橢圓映射視為n次多項式比值，其方程如下：

式(l)中，Qn(x，β)為雅克比橢圓映射函數(shù)；x為系統(tǒng)變量；β為控制參數(shù)；H為替代函數(shù)。單參數(shù)集合所處區(qū)間為[0，1]。的表達式由sn、dn以及cn代替

以上關(guān)系可表示為：

式(4)中，sn(v)、cn（v）以及dn（v）均為雅克比橢圓映射形式函數(shù)；式(4)中，sn(v)、cn(v)以及dn(v)均為雅克比橢圓映射形式函數(shù)；v為變量；而為模量。

從上述可知，雅克比橢圓映射函數(shù)sn（v）與變量鈔和模量k有關(guān)。映射Q為(N-I)個節(jié)點映射，也就是說該映射在單位區(qū)間[O，1]中有（N-1）個關(guān)鍵點，他們具有一個穩(wěn)定固定點或遍歷行為，如圖1所示。

對公式(1)進行求schwarzian導(dǎo)數(shù)，得到如下模型

式(6)中，Z[ QN(X，β)]代表QN(X，β)映射的導(dǎo)數(shù)；QN(X，β)代表雅克比橢圓混沌映射；H（x）為替代甬?dāng)?shù)；Vs代表菇的矢量。

由上述公式可知，該導(dǎo)數(shù)是負的，它限制了穩(wěn)定周期軌道的數(shù)量，具有負Schwarzian導(dǎo)數(shù)的單峰映射最多有一個穩(wěn)定的周期軌道。因此，映射Q最多有(N+1)個吸引周期軌道，他們只有單周期的一個穩(wěn)定固定點或者他們是遍歷映射。

根據(jù)模型(1)一模型(4)，可得如下模型:

式中，k代表模型式(7)一式(9)的控制參數(shù)。對于模型式(7)一式(9)的任何一個具體參數(shù)而言，這些模型都是遍歷的。和其他普通映射相反，因上述映射的參數(shù)是變換的，因此這些模型并沒有顯示倍周期、周期Ⅳ分岔或者逐步過渡到混沌狀態(tài)，而是在某個參數(shù)的固定區(qū)域內(nèi)，他們擁有單個固定點吸引子，對于正Lyapunovz指數(shù)的參數(shù)而言，他們無需精確的周期N分岔就可以直接分岔到混沌狀態(tài)。

1、Lyapunovz指數(shù)

圖像加密算法應(yīng)該擁有姣好的初值敏感性。Lyapunovz指數(shù)是混沌狀態(tài)的一個標準。在對雅克比橢圓映射迭代計算之后，考慮相鄰的兩個點xo與（xo+δ），則其Lyapunovz指數(shù)定義如下：

式中，λ（x0）為Lyapunovz指數(shù)；Qtn( xo)為點xo在t時刻的雅克比橢圓混沌映射函數(shù)狀態(tài)；δ為相鄰兩點的差值。

很顯然，這些負值表明這個系統(tǒng)是處于吸引子體系中，而他們的正值則暗示了這個系統(tǒng)是可預(yù)測的o Lyapunovz指數(shù)的數(shù)量與初始點xo無關(guān)，它表明了在不變流形范圍內(nèi)的運動是遍歷的，因此將λ（xo）雅克比橢圓映射的不變流形視為一個整體。對于方程式(1O)和式(ll)而言，根據(jù)Birkhoff遍歷定理可知，其極限在某些輕微的限制條件下是存在的。對初值條件的敏感性可通過Lyapunovz指數(shù)來預(yù)測。鑒于此，對于混沌加密系統(tǒng)來說，控制參數(shù)值必須按照正Lyapunovz指數(shù)來選擇，對于所有控制參數(shù)值而言，使用一個正Lyapunovz指數(shù)的混沌映射是非常重要的。因此，雅克比橢圓映射由于其具有多個正的Lyapunovz指數(shù)，是混沌加密系統(tǒng)的一個好選擇。為了區(qū)分雅克比橢圓映射控制參數(shù)的合理范圍，本文模擬了不同β值對應(yīng)的Lyapunovz指數(shù)，如圖l所示。通過調(diào)整初值和控制參數(shù)能夠產(chǎn)生密鑰空間，將雅克比橢圓映射轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦缬成洌铱梢愿淖兠荑€空間的大小。

二、S盒變換規(guī)則融合雅克比橢圓混沌映射的圖像加密算法

圖2為本文加橙算法的流程框架圖。其包含了三個階段：①S盒變換階段；②混淆階段；③擴散階段。在S盒變換規(guī)則下預(yù)處理圖像，使得處理后的圖像擁有非線性結(jié)構(gòu)，達到了預(yù)混淆效果；通過混淆與擴散階段，并將完整的隨機密碼序列引入在擴散階段，顯著增強了加密算法的安全性。本文設(shè)計的加密算法實現(xiàn)了雙混淆與擴散機制相結(jié)合，顯著增強加密系統(tǒng)的抗攻擊能力。

1、本文加密算法設(shè)計

1）步驟I:S盒變換階段

1)首先從j=2n到2反復(fù)執(zhí)行S盒變換規(guī)則。S盒變換規(guī)則定義如下：

①將區(qū)間[O，1]分成j個子區(qū)間：

②迭代雅克比橢圓混沌映射模型式(7)，迭代次數(shù)為i次，得到當(dāng)前值Qcn(xi，β)；

③假沒當(dāng)前狀態(tài)值Qcn(xi，β)位于第m個子區(qū)間

內(nèi)。交換序列K中的第m個整數(shù)后km與第j整數(shù)jm。其中，K為隨意置亂整數(shù)序列{O，1，2…2n—l｝所得到的序列之一；

④根據(jù)以下方程改變模型(7)的控制參數(shù)β:

式(12)中，無限為序列K中的第m個整數(shù)；β’為改變后的參數(shù)；盧為改變前的參數(shù)。

2)將K轉(zhuǎn)換成一個2a/2×2n/2表格，從而得到nxn的S盒，例如，若圖像大小為256×256，則得到16 x16的s盒。

3)將尺寸為M×N的圖像I分成z個像素塊，每個像素塊為8 byteso定義SBi、Pi分別為像素塊Bi的第j個S盒子、第i個字節(jié)。其中Bi=( PoP1...P7)，Bz以此類推。首先用SBi替代Pi，得到替代塊Bz。

4)隨后利用左循環(huán)移4位操作對步驟3）中得到的替代塊Bj進行置亂，繼而得到密文塊Cz。

S盒變換過程如圖3所示。

步驟2：混淆階段

1)在經(jīng)步驟l預(yù)混淆后圖像里任取一個像素點pi，經(jīng)過代數(shù)變換函數(shù)計算得到x’。

式(13)中，戈’o為預(yù)設(shè)初值，α、ε為特殊參數(shù)，α、ε∈[O，1，2，…，M×N]。

2)將上述得到的xo'作為Logistic混沌映射的初值，對該映射進行達代MxN次，得到一組偽隨機序列 X=（x’l，X'2,X’3"...X’mxN）。

3)在步驟2）中得到的偽隨機數(shù)組任意選取一個x’，將其作為雅克比橢圓混沌映射(7)的初始密鑰匙，并進行迭代計算L+MxN次，l為灰度級別，從而有效地消除了混沌映射的瞬態(tài)效應(yīng)，并忽略本輪迭代結(jié)果。

4)在偽隨機序列中再任選一個x'j（i≠j），根據(jù)代數(shù)變換函數(shù)f(i）以及f’j，通過簡單的乘除運算改變雅克比橢圓混沌映射(7)的初值xo以及參數(shù)β，得到新的初始外部密鑰（x’o和β’）。

式(14)中，floor(引代表的是與X相距最小的X整數(shù)(≤X)；mod(X，y)代表的是X對y取余，XOR為按位異或操作，B；為第f個像素塊。

5)將步驟4）得到的外部密鑰（菇’o和JB’）視為雅克比橢圓混沌映射(7)的初始條件，再次對模型式(7)進行迭代計算L+MxN次，得到一維數(shù)組Y=(xl,x’2,x’，3，…，XL+JvxN)。

6)借助修正函數(shù)對一維數(shù)組Y=(X"2，，…，XL+VxN)進行修正，得到一個新數(shù)組y，=（xJ，X2，X3，…，XL）.修正函數(shù)如式(15)。

式(15)中，xi為修正后的序列，為修正前的序列。

7)利用步驟6）所得到的新數(shù)組按照按如下方程對S盒變換處理后的圖像像素點Pi進行混淆，直到所有的像素點混淆完畢D像素值混淆方程如下：

式(16)中，P’；一，為混淆后的像素值，Pi-I為S盒變換后的置亂圖像像素值；0代表異或運算。

3）步驟3：擴散階段

1)采用密鑰流機制量化修正后的序列y，（X1，X2，X3，…，XL十MxN），得到一個新的序列S’=（X7I，另’2，菇’3，…，XL．MxN），模型如下：

式(17)中，round(剮代表的是對X進行取整；L代表的是圖像的灰度等級。

2)為了在該階段能夠有效的進行擴散，顯著提高加密系統(tǒng)的安全性，根據(jù)步驟1）得到的密鑰流量化序列S7=（石7】石’2 Xr3.．石’工+Ⅳ×Ⅳ），本文設(shè)計一個完整的隨機密碼序列X=（XI，X2，X3，…，面L．MxⅣ）：

式(18)中，mod(X，y)代表的是X對y取余；floor(鄹代表的是與X相距最小的X整數(shù)(≤X)o

3)利用完整的隨機密碼序列X=(XI，X2，X3，”．，XL+ⅣxN)o

按照擴散機制對混淆后的圖像像素進行擴散。

擴散模型如下：

式(19)中，①代表異或運算。n是迭代次數(shù)，W( r}-l)町、P’(n—I)町分別代表密文像素值、混淆圖像像素值；JV(n-I)+j-1為對應(yīng)被處理明文圖像的前一個密文圖像的像素值，其初值Wo位于[O，255]內(nèi)，為整數(shù)常量；a為特殊參數(shù)，O∈[O，1，2，…，M×N]。

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