有限元法是目前科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域中應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值計算方法，是許多工程設(shè)計的基礎(chǔ)工具，隨著有限元技術(shù)應(yīng)用范圍的不斷擴大，不少問題也相繼出現(xiàn)，其中最突出的兩點是：(1)越來越多的并不熟悉有限元技術(shù)的人需要使用這門技術(shù)，網(wǎng)格如何劃分，得出的結(jié)果精度怎樣，能否作為工程設(shè)計的依據(jù)，這些問題常常困擾著他們。(2)當(dāng)前有限元技術(shù)在工程設(shè)計中的作用已從分析和校核擴展到優(yōu)化設(shè)計并和計算機輔助設(shè)計相結(jié)合。這就對有限元分析系統(tǒng)的自動化程度以及分析結(jié)果的精度提出了更高的要求。

要真正解決以上兩個問題，就必須發(fā)展可靠、實用的自適應(yīng)有限元分析系統(tǒng)。自適應(yīng)有限元分析系統(tǒng)的基本框圖如圖1所示。

從圖1可以看出，自適應(yīng)有限元分析系統(tǒng)和傳統(tǒng)有限元分析系統(tǒng)的主要區(qū)別在于增加了誤差估計和網(wǎng)格優(yōu)化兩大模塊。它是以誤差估計為基礎(chǔ)，以網(wǎng)格優(yōu)化為手段來實施自適應(yīng)分析，達到用戶所需的精度。

當(dāng)前，最為流行的網(wǎng)格優(yōu)化方案有h-方案，p-方案，hp-方案，其中h-方案以其直觀，效率高的特點而深受工程界的歡迎，本文主要討論這種方案。自適應(yīng)有限元h-方案的最基本思想就是通過事后誤差估計，對計算結(jié)果誤差較大的區(qū)域進行局部網(wǎng)格加密，而保持單元插值多項式階次不變。因此，為了有效實施自適應(yīng)有限元h-方案，就必須發(fā)展實用、高效的自適應(yīng)有限元局部網(wǎng)格加密方案。作者在研究工作中體會到，基于樹結(jié)構(gòu)的478叉樹網(wǎng)格生成方法非常適合自適應(yīng)有限元分析，其主要原因是它具有豐富的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，以及單一的、極易操作的、面向整個分析域的網(wǎng)格控制機理。本文就是在叉樹法網(wǎng)格生成器基礎(chǔ)上，來研究自適應(yīng)網(wǎng)格加密方案的。由于四叉樹直觀，且易推廣到八叉樹問題中去，所以，本文的工作主要是基于四叉樹法網(wǎng)格生成方法。

一、基于叉樹法的網(wǎng)格生成器生成網(wǎng)格的主要步驟

叉樹法網(wǎng)格生成的過程是完全面向幾何特征的，它通過一系列幾何操作，同時從幾何模型數(shù)據(jù)庫中取得分析物體的幾何信息，以及網(wǎng)格控制參數(shù)信息等，來完成網(wǎng)格劃分。概括起來說，該算法主要由以下兩個步驟完成：

(1)首先找到一個能夠完全包含分析域的正方形，然后利用四叉樹性質(zhì)…離散該正方形至所需大小。同時，把這些離散信息保留在一個四叉樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，通過這個樹狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，把離散的子正方形聯(lián)系起來。

(2)從第一步產(chǎn)生的四叉樹數(shù)據(jù)庫中，取出滿足終止條件的邊界和內(nèi)部子正方形來形成網(wǎng)格單元，并存儲于網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫中。同時，使某些特殊點自動成為網(wǎng)格單元的節(jié)點，例如：結(jié)構(gòu)的支撐點，集中載荷的作用點等。

上述兩個步驟的圖示過程如圖2所示：

二、基于叉樹法的自適應(yīng)局部網(wǎng)格修正

1、局部網(wǎng)格修正的方法及步驟

自適應(yīng)h-方案的最顯著特點就是只在計算誤差大的局部進行網(wǎng)格加密。因此，在自適應(yīng)局部加密過程中，被修正單元的相鄰網(wǎng)格的密度重新分布，相鄰單元拓?fù)湫畔⒌男拚约靶聠卧牟迦牒团f單元的刪除都是同時進行的，由此，使得自適應(yīng)局部加密更加復(fù)雜，實現(xiàn)起來更加困難。當(dāng)前，有不少學(xué)者在做這方面的研究工作，他們對需要加密的單元主要采用二分最大邊或四分該單元的辦法。雖然有很多常用的局部加密方法，但它們卻存在不少缺點，主要表現(xiàn)在：

(1)如果原始單元的形狀不好，則加密后的單元形狀極有可能更為不好。

(2)這類局部單元加密方法是基于原始單元的，而不是基于原始幾何模型的。因此，如果被加密的單元是邊界單元，不利于邊界重組，也就是說，利用這類方法加密邊界單元后，并不能更加逼近原始幾何。

(3)加密程度十分有限，而且不夠靈活。

基于叉樹法的網(wǎng)格生成器在生成網(wǎng)格過程中，網(wǎng)格數(shù)據(jù)是完全由離散后的滿足終止條件的四分正方形象限所產(chǎn)生，而這些四分正方形象限是以樹的結(jié)構(gòu)形式存儲的。我們知道，樹的空間尋址性好，正方形具有強的規(guī)整性，因此，在自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密過程中，如果把局部單元的加密，相鄰網(wǎng)格的修正，網(wǎng)格單元的鄰居信息的建立與修改等操作完全轉(zhuǎn)換到操作產(chǎn)生這些單元的相應(yīng)正方形象限，這將是十分有利的。

根據(jù)上面的分析討論，本文針對自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密技術(shù)的特殊要求以及叉樹法網(wǎng)格生成技術(shù)的特點，提出了基于叉樹法的自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密方法，主要步驟如下：

(1)通過事后誤差估計護，8，引，確定哪些單元計算誤差較大，然后在網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫中找到這些需要修正的單元。

(2)通過“產(chǎn)生該單元的正方形指針”信息在存儲離散正方形的樹數(shù)據(jù)庫中找到相應(yīng)正方形。然后修正該正方形及與它相鄰的需要修正的正方形至所需程度。

(3)根據(jù)局部修正后的正方形，產(chǎn)生新的單元。給已修正的樹數(shù)據(jù)庫中的正方形附一無效標(biāo)志。

這種自適應(yīng)網(wǎng)格修正步驟對于局部網(wǎng)格修正是十分方便的。如果被加密的單元是邊界單元，利用上述加密方案，極利于邊界重組，因為這種加密方案是基于產(chǎn)生加密單元的正方形，而在這些正方形屬性中是存有原始幾何邊界信息的（如果是邊界四分正方形象限），因此，可以說，上述局部網(wǎng)格修正步驟是面向原始幾何模型的，這比常用的局部網(wǎng)格修正方法更先進。為了能具體認(rèn)識這一點，可見圖3所示。

本文所提出的局部網(wǎng)格加密步驟能否有效實施，主要依賴于網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以及自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密算法，下面將較詳細(xì)討論它們。

2、支持局部網(wǎng)格修正的網(wǎng)格，樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫中所存儲的信息是整個有限元計算過程中最重要的信息，是用于有限元分析計算的。因此，網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)最一般形式就是存儲單元節(jié)點，單元類型、單元屬性等，圖4就是大家所熟悉的傳統(tǒng)有限元網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。然而，基于圖4的網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是很難支持自適應(yīng)有限元分析過程的。為了有效實施上一節(jié)所提出的自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密過程，我們采用兩個相匹配的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，即網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫中的單元、節(jié)點信息完全由樹數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)產(chǎn)生，同時，在網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中增加一條“產(chǎn)生該單元的正方形指針”信息項，以該信息項為紐帶，把對單元的操作全部轉(zhuǎn)換到對“產(chǎn)生該單元的正方形”進行操作，把直接對網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫的操作轉(zhuǎn)換到對樹數(shù)據(jù)庫的操作，從而間接控制和修正網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫。樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的鮮明層次性，空間可尋址性，以及模型和滿足終止條件的節(jié)點之間相互聯(lián)系的豐富指針，使得對于樹數(shù)據(jù)庫的任何操作都變得十分容易實現(xiàn)。這對于提高自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密的效率及程序?qū)崿F(xiàn)難度的簡化是極為有利的。

在自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密過程中，被加密的局部單元的相鄰網(wǎng)格拓?fù)潢P(guān)系的建立與修正是十分頻繁的，因此，網(wǎng)格單元鄰居信息的快：速、有效地獲得就得十分重要。前面已經(jīng)說過，本文的自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密都是基于樹數(shù)據(jù)庫的，因而，可以把對網(wǎng)格單元的鄰居操作轉(zhuǎn)換到對產(chǎn)生該單元的正方形的鄰居進行操作，由于正方形的規(guī)整性極強，因此，在樹數(shù)據(jù)庫基礎(chǔ)上的鄰居拓?fù)潢P(guān)系的建立與修正就變得比較容易。下面就是基于樹數(shù)據(jù)庫的鄰居拓?fù)湫畔⒔D示，見圖5。

圖5所示的鄰居信息存儲方法是基于這樣一條規(guī)則：為了保持單元之間疏密過渡不至于過分懸殊，相鄰正方形級數(shù)之差不能大于1。因此，對于一個特定正方形的一條邊，最多只有兩個不同的鄰居。

根據(jù)上面分析討論，在自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密過程中，樹數(shù)據(jù)庫不斷寫入信息，網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫完全由樹數(shù)據(jù)庫產(chǎn)生，在自適應(yīng)分析過程中，兩者是動態(tài)的。它們之間的相互匹配關(guān)系可以如圖6所示，圖6為離散的正方形及相應(yīng)的三角形網(wǎng)格，圖7為圖6的網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的相互匹配關(guān)系。

3、實施局部網(wǎng)格加密的程序算法

本文所采用的自適應(yīng)局部網(wǎng)格加密步驟已在前面討論，它是把對網(wǎng)格單元的操作轉(zhuǎn)換為對產(chǎn)生該單元的正方形進行操作，這種轉(zhuǎn)換是極為有利的。那么，如何具體實施對四分正方形象限局部加密，如何對受影響的相鄰正方形進行修正，下面以圖8為例講述叉樹法網(wǎng)格生成器的局部網(wǎng)格加密算法思路。

圖8(b)可以看成圖8(a)中h單元再加密一級所得b由于圖8(b)中的k、m單元和b單元級數(shù)之差大于1，所以，這種網(wǎng)格過渡不能接受。因此，為了加密某個單元，首先必須檢查它鄰居的級數(shù)。根據(jù)這個原則，為了加密圖8(a)中的單元h，就必須首先檢查它的鄰居f、g、b級數(shù)，從而可知應(yīng)先加密b單元，才能加密h單元，得圖8(c)所示網(wǎng)格，這種網(wǎng)格過渡是可以接受的。

根據(jù)這個思路，本文研制了一種局部網(wǎng)格加密算法。圖9就是此算法的偽碼。

利用上述算法，需要加密的單元就可以加密到所需程度。凡是已被加密的樹數(shù)據(jù)庫中的正方形單元，它的有效性標(biāo)志為N ull，以示該單元不存在。在加密過程中，新產(chǎn)生的正方形單元，加密時受影響的周邊正方形單元的鄰居拓?fù)湫畔?yīng)做相應(yīng)改變，以便給下次加密時提供正確的鄰居信息。對于有效性標(biāo)志為N ull的正方形不做任何操作。

三、局部加密網(wǎng)格例子

利用叉樹法網(wǎng)格生成器，本文所提出的局部網(wǎng)格加密步驟，以及圖7的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)和樹數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的相互匹配關(guān)系和圖9的局部網(wǎng)格加密算法，可以事前和事后生成任意密度分布的網(wǎng)格，這對于實施自適應(yīng)h-方案是十分有利的。

局部加密網(wǎng)格例子如下：

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